防衛大学校 理工(2日目) 2009年度 問5

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解答作成者: あんじいさん

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2009年度
問No 問5
学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\framebox{\parbox{5.5in}{$a$を正の実数として,曲線$C$と直線$l$を\\ $C:y=\displaystyle\frac{1}{1+x^2} $\\ $l:y=1-\displaystyle\frac{x}{a} $\\ とする。このとき,次の問に答えよ。\\ \\ (1) $lがC上のある点における接線となるときのaの値a_{0}を求めよ。$ (2) $a>a_{0}のとき,Cとlは点(0,1)を含めた3点で交わる。点(0,1)以外の2つの交点の\\   x座標をs,tとするとき,s+tをaで表せ。$ (3) $(2)においてs<tとする。 P=\displaystyle\int_{0}^{s} \frac{dx}{1+x^2} , Q=\displaystyle\int_{s}^{t} \frac{dx}{1+x^2}として,\tan P,\tan Qを\\   aで表せ。$ (4) $P=Qとなるaの値を求めよ。$}}\\ (1)$lは傾き-\displaystyle\frac{1}{a}で点(0,1)を通る直線である。いま,C上の接点を(u,\displaystyle\frac{1}{1+u^2})とすると, $\\ $関数Cを微分すると,y^{\prime}=\displaystyle\frac{-2x}{(1+x^2)^2}となるから\\$    接戦の方程式は, $y-\displaystyle\frac{1}{1+u^2}=\frac{-2u}{(1+u^2)^2}(x-u)となり,\\$ これが$(0,1)を通るから,1-\displaystyle\frac{1}{1+u^2}=\frac{2u^2}{(1+u^2)^2} 整理してu^2(u^2-1)=0$\\ また,$lは傾き-\displaystyle\frac{1}{a}=\frac{-2u}{(1+u^2)^2}であり,a>0より,u=1よってa_{0}=2\cdots (答)$\\ (2)$2=a_{0}<a, 1-\displaystyle\frac{x}{a}=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}の0以外の解がs,tである。式を整理して$\\ $x^3-ax^2+x=0,x\neq0より,x^2-ax+1=0,解と係数の関係からs+t=a\cdots (答)$\\ (3)$P=\displaystyle\int_{0}^{s} \frac{dx}{1+x^2}$\\ $x=\tan{\theta}とおくと,1+x^2=1+\tan^{2}\theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\theta}, \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^{2}\theta}となるから,$\\ $s=\tan{\theta_{s}}とすると,P=\displaystyle\int_{0}^{\theta_{s}} \cos^{2}\theta\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}=\theta_{s}よって,\tan P=\tan{\theta_{s}}=s$\\ また,$t=\tan{\theta_{t}}とおくと,同様にP+Q=\displaystyle\int_{0}^{s} \frac{dx}{1+x^2}+\displaystyle\int_{s}^{t} \frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{0}^{t} \frac{dx}{1+x^2}=\theta_{t}$\\ だから,$Q=\theta_{t}-Pより\tan Q=\tan(\theta_{t}-P)=\displaystyle\frac{\tan\theta_{t}-\tan P}{1+\tan\theta_{t}\tan P}=\displaystyle\frac{t-s}{1+st}$\\ (2)$よりs,tはx^2-ax+1=0の解である。s<tよりs=\displaystyle\frac{a-\sqrt{a^2-4} }{2}, t=\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$\\ $よって,\tan P=\displaystyle\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\cdots (答), \tan Q=\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-4}}{2}\cdots (答)$\\ (4) $P=Q, a>0を解いて, a=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdots (答) $\\