防衛大学校 理工(2日目) 2009年度 問4

問題へ戻る

解答作成者: あんじいさん

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2009年度
問No 問4
学部
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\framebox{\parbox{5.5in}{ 方程式$x^2+y^2-6x-2y-19=0が表す曲線上の点(x,y)のうち,xとyがともに整数\\   であるような点全体の集合をAとする。このとき,次の問に答えよ。$ \ \\ (1) $集合Aの要素の個数を求めよ。$ (2) $点Pを集合Aの要素とする。このとき,原点OとPとの距離OPのとり得る値の最大値Mと\\    最小値mを求めよ。$ (3) $点Pを集合Aの要素とする。このとき,原点OとPと点Q(4,-2)を頂点とする三角形\\    OPQの面積のとり得る値の最大値Sと最小値sを求めよ。$}} \\ (1) $方程式x^2+y^2-6x-2y-19=0を平方完成すると,(x-3)^2+(y-1)^2=29となり,\\   整数の平方数の和が29となるのは,4+25のみである。$\\ $     \left\{ \begin{array}{ll} (x-3)^2=5^2 \\ (y-1)^2=2^2 \\ \end{array} \right.$  または $\left\{ \begin{array}{ll} (x-3)^2=2^2 \\ (y-1)^2=5^2 \\ \end{array} \right.$\\  よって,$ \left\{ \begin{array}{ll} x=3\pm5\\ y=1\pm 2 \\ \end{array} \right.$  または $\left\{ \begin{array}{ll} x=3\pm 2 \\ y=1\pm 5 \\ \end{array} \right.  (復号同順ではない)\\$ $ したがって,(x,y)=(8,3),(8,-1),(-2,3),(-2,-1),(5,6),(5,-4),(1,6),(1,-4) \\$                                   $8個\cdots(答)\\$ (2)$原点からの距離の最大値は,(8,3)のときM=\sqrt{8^2+3^2}= \sqrt{73}\cdots(答)\\ $   $ 最小値は,(-2,-1)のときm=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}= \sqrt{5}\cdots(答)\\$ (3)$原点(0,0),p(x,y),Q(4,-2)$を頂点とする三角形の面積は\[ \frac{1}{2}|(-2)x-4y|=|x+2y| \]\\ 面積の最大値は,$(5,6)のときS=17\cdots(答),最小値は(-2,-1)のときs=4\cdots(答)$