室蘭工業大学 前期 2011年度 問5

問題へ戻る

解答作成者: 小松 弘直

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問5
学部 工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{5.}} $x,y$は実数で,$x+2y=3$を満たすとする。さらに行列$A$=$\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 2&-1 \\ \end{array} \right)$に対し て等式$A\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)=-2\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right)$が成り立つとする。 {\sf (1)} $x,y$の値を求めよ。 {\sf (2)} 行列$P=\left(\begin{array}{cc} 2&x \\ 1&y \\ \end{array} \right)$は逆行列をもつことを示し,$P^{-1}AP$を求めよ。 {\sf (3)} 正の整数$n$に対して$A^n$を求めよ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $A\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)=-2\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right)$ ⇔ $\left(A+2E \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)=O$   $\left(A+2E \right) = \left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 2&-1 \\ \end{array} \right)+\left(\begin{array}{cc} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} 4&2 \\ 2&1 \\ \end{array} \right)$なので   $\left(\begin{array}{cc} 4&2 \\ 2&1 \\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right)=O$ となり \[ \left\{ \begin{array}{c c l} 4x+2y & = & 0 \\ 2x+y & = & 0 \end{array} \right. \]   ⇔ $y=-2x$・・・・・\textcircled{\small 1}となる。   ここで,$x+2y=3$・・・・・\textcircled{\small 2}を満たすので,\textcircled{\small 1},\textcircled{\small 2}より,$x=-1,y=2$・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} {\sf (1)}より $P=\left(\begin{array}{cc} 2&-1 \\ 1&2 \\ \end{array} \right)$が逆行列をもつ条件は,    det$P=2・2-(-1)・1=5≠0$より,逆行列をもつ。    したがって,$P^{-1}AP=\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 2&1 \\ -1&2 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 2&-1 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} 2&-1 \\ 1&2 \\ \end{array} \right)$             =$\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 6&3 \\ 2&-4 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} 2&-1 \\ 1&2 \\ \end{array} \right)$             =$\left(\begin{array}{cc} 3&0 \\ 0&-2 \\ \end{array} \right)$・・・ {\sf ((答))}     {\sf ((注))} $\left(\begin{array}{cc} a&0 \\ 0&b \\ \end{array} \right)$のような行列を, {\sf 対角行列}と言います。 ~ {\sf (3)}  {\sf (2)}より,両辺を$n$回かけると,   $\underbrace{P^{-1}・A\overbrace{P・P^{-1}}^{E}A\overbrace{P・P^{-1}}^{E}・・・・・\overbrace{P・P^{-1}}^{E}AP}_{n回かける}$=$\left(\begin{array}{cc} 3^n&0 \\ 0&(-2)^n \\ \end{array} \right)$となり,   $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc} 3^n&0 \\ 0&(-2)^n \\ \end{array} \right)$となる。   したがって,求める$A^n$は,左から$P$右から$P^{-1}$をかけると,   $A^n=\left(\begin{array}{cc} 2&-1 \\ 1&2 \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} 3^n&0 \\ 0&(-2)^n \\ \end{array} \right)\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 2&1 \\ -1&2 \\ \end{array} \right)$     =$\left(\begin{array}{cc} 2・3^n&-(-2)^n \\ 3^n&2・(-2)^n \\ \end{array} \right)\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 2&1 \\ -1&2 \\ \end{array} \right)$     =$\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 4・3^n+(-2)^n&2・3^n-2・(-2)^n \\ 2・3^n-2・(-2)^n&3^n+4・(-2)^n \\ \end{array} \right)$     =$\displaystyle \frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 4・3^n+(-2)^n&2・3^n+(-2)^{n+1} \\ 2・3^n+(-2)^{n+1}&3+(-2)^{n+2} \\ \end{array} \right)$・・・ {\sf ((答))} \fbox{\sf ポイント}本問は、行列の$n$乗の問題の頻出パターンである。確実に点数を取りたい問      題である。 \end{document}