室蘭工業大学 前期 2011年度 問2

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解答作成者: 小松 弘直

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問2
学部 工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4parer,12pt]{jsarticle} \pagestyle{empty} \usepackage{ascmac} \begin{document} \begin{screen} {\bf \large{2.}} 正の整数$n$に対して \begin{center} $S_n(x)=\displaystyle \int_0^xt^ne^{-t}dt$ \end{center} とおく。ただし,$e$は自然対数の底とする。 {\sf (1)} $S_{n+1}(x)$を$n,x$および$S_n(x)$を用いて表せ。 {\sf (2)} $m$を正の整数とする。$x>0$のとき,不等式$e^{\frac{x}{m+1}}>\displaystyle \frac{x}{m+1}$が成り立つこと  を示せ。また,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x}=0$となることを示せ。 {\sf (3)} 数学的帰納法を用いて,すべての正の整数$n$に対して,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_n(x)=n!$となる  ことを示せ。 \end{screen} ~ \fbox{\sf 解 答} {\sf (1)} $S_{n+1}(x)=\displaystyle \int_0^xt^{n+1}e^{-t}dt$      $=\displaystyle \left[ -t^{n+1}e^{-t} \right]_0^x+\int_0^x(n+1)t^ne^{-t}dt$      $=\displaystyle -x^{n+1}e^{-x}+(n+1)\int_0^xt^ne^{-t}dt$    ここで,$S_n(x)=\displaystyle \int_0^xt^ne^{-t}dt$なので      $∴S_{n+1}(x)=-x^{n+1}e^{-x}+(n+1)S_n(x)$・・・{\sf ((答))} {\sf (2)} $x>0$のとき,$f(x)=e^{\frac{x}{m+1}}-\displaystyle \frac{x}{m+1}$とおく。          $f'(x)=\displaystyle \frac{1}{m+1}\left (e^{\frac{x}{m+1}}-1 \right)$     $m>0$なので,$\displaystyle \frac{1}{m+1}>0$であるから,$f'(x)>0$であるから, よって,    $y=f(x)$は単調増加なグラフである。また,$f(0)=e^0=1$    であるから,$f(x)>0$。      ∴$f(x)=e^{\frac{x}{m+1}}-\displaystyle \frac{x}{m+1}$ ⇔ $e^{\frac{x}{m+1}}>\displaystyle \frac{x}{m+1}・・・(*)$    ここで,$\displaystyle \frac{x}{m+1}>0$なので,$(*)$の両辺に$m+1$乗すると,          $(e^{\frac{x}{m+1}})^{m+1}>\displaystyle \left(\frac{x}{m+1} \right)^{m+1}$         ⇔$e^x>\displaystyle \frac{x^m・x}{(m+1)^{m+1}}$         ⇔$\displaystyle \frac{e^x}{x^m}>\displaystyle \frac{x}{(m+1)^{m+1}}$         ⇔$(0<)\displaystyle \frac{x^m}{e^x}<\displaystyle \frac{(m+1)^{m+1}}{x}$    となり,はさみうちの原理より$\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{(m+1)^{m+1}}{x}=0$なので,             $\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x^m}{e^x}=0・・・${\sf ((答))} {\sf (3)} (i)$n=1$のとき, $S_1(x)=\displaystyle \int_0^xte^{-t}dt$                $=\displaystyle \left[ -te^{-t} \right]_0^x+\int_0^xe^{-t}dt$                $=\displaystyle -xe^{-x}+\left[-e^{-t} \right]_0^x$                $=\displaystyle -xe^{-x}+e^{-x}+1$                $=\displaystyle \left(1-x \right)e^{-x}+1$     よって$\displaystyle \lim_{n→∞}S_1(x)=\displaystyle \lim_{n→∞}\left(1-x \right)e^{-x}+1=\displaystyle \lim_{n→∞} \left(\frac{1-x}{e^{x}}+1 \right)$                        $=1! \displaystyle \left( ∵ \displaystyle \lim_{n→∞}\frac{1-x}{e^{x}}=0 \right)$  (ii)$n=k$のとき,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_k(x)=k!$となることを仮定すると     $n=k+1$のとき,$S_{k+1}(x)=\displaystyle \int_0^xt^{k+1}e^{-t}dt$     {\sf (1)}より,$S_{k+1}(x)=-x^{k+1}e^{-x}+(k+1)S_k(x)$となる。    したがって,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_{k+1}(x)=\lim_{x→∞} \left( \frac{-x^{k+1}}{e^{x}}+(k+1)S_k(x) \right)$               $=\displaystyle \lim_{x→∞} \left( \frac{-x^{k+1}}{e^{x}}+(k+1)S_k(x) \right)$ $\displaystyle \left(∵{\sf (2)}より\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{-x^{k+1}}{e^{x}}=0 \right)$                $\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_{k+1}(x)=(k+1)・k!$                $∴\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_{k+1}(x)=(k+1)!$    よって,(i),(ii)より,すべての正の整数$n$に対して,,$\displaystyle\lim_{x \to \infty} S_n(x)=n!$となる。 \end{document}