防衛大学校 理工(2日目) 2009年度 問3

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解答作成者: あんじいさん

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2009年度
問No 問3
学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\framebox{\parbox{5.5in}{1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードがある。最初にこの中から1枚ずつ3枚のカードを取り出し, 順に百の位,十の位,一の位の数として3桁の整数をつくる。次に残りの6枚の中から1枚ずつ3枚のカードを取り出し,順に百の位,十の位,一の位の数として3桁の整数をつくる。最後に遺りの3枚の中からやはり1枚ずつ3枚のカードを取り出し,順に百の位,十の位,一の位の数として3桁の整数をつくる。このようにしてつくった整数をそれぞれ$a,b,c$とする。このとき,次の問に答えよ。ただし,(2)(3)(4)の解答にはそれ以上約分できない形の分数を用いること。\ \\ (1) $a,b,cの百の位の数字の和をx,十の位の数字の和をyとしたとき,a+b+cをxとyを用\\   いてできるだけ簡単な式で表せ。また,x=8のとき,a+b+cの最小値を求めよ。$ (2) $a+b+cの一の位が0になる確率を求めよ。$ (3) $a+b+cが偶数になる確率を求めよ。$ (4) $a+b+cが860未満になる確率を求めよ。$}}\\\\ (1) $a,b,cの百の位の数字の和をx,十の位の数字の和をyであるから,一の位の数字の\\   和は45-x-y,a+b+c=100x+10y+45-x-y=99x+9y+45\cdots(答)$\\   $x=8のとき,a,b,cの百の位の数字の組合せは(1,2,5)又は(1,3,4)だけであるから,$\\   $a+b+cが最小となるためには,$\\  $\textcircled{\scriptsize1}百の位の数字の組合せが(1,2,5)のとき,十の位の数字の組合せが(3,4,6),一の位の数字\\   の組合せが(7,8,9)であるから$\\   $a+b+c=8\times100+(3+4+6)\times10+(7+8+9)=954$\\   $\textcircled{\scriptsize2}百の位の数字の組合せが(1,3,4)のとき,十の位の数字の組合せが(2,5,6),一の位の数字\\   の組合せが(7,8,9)であるから$\\   $a+b+c=8\times100+(2+5+6)\times10+(7+8+9)=954  よって954\cdots(答)$\\ (2) $a+b+cの一の位が0となるのは,a+b+cの一の位の和が10か20になるときである。$\\   $例えば,一の位の組みが(1,2,7)となる確率は\displaystyle \frac{3!}{9\times8\times7}$ であるから,一の位の組みの種類を\\   調べるとよい。\\   $一の位の組みを種類を(l,m,n),l<m<nとする$\\   $\textcircled{\scriptsize1} l+m+n=10のとき$\\   $10=l+m+n>l+l+l=3l$ ゆえに $l<\frac{10}{3} ゆえに l=1,2,3$\\   $l=3のとき,7=m+n>2m ゆえにm<\frac{7}{2}かつm>l=3しかしmは整数より矛盾$\\   $l=2のとき,8=m+n>2m ゆえにm<4かつm>l=2 よってm=3 ,n=5$\\   $l=1のとき,9=m+n>2m\\  ゆえにm<\frac{9}{2}かつm>l=1 よってm=2,3,4 ,n=7,6,5$\\   $よって一の位の組みを種類は,(2,3,5),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5)$\\   $\textcircled{\scriptsize2} l+m+n=20のとき$\\   $20=l+m+n<n+n+n=3n$ ゆえに $n>\frac{20}{3} ゆえに n=7,8,9$\\   $n=7のとき,13=l+m<2mゆえにm>\frac{13}{2}かつm<n=7しかしmは整数より矛盾$\\   $n=8のとき,12=l+m<2m ゆえにm>6かつm<n=8 よってm=7 ,l=5$\\   $n=9のとき,11=l+m<2m\\  ゆえにm>\frac{11}{2}かつm<n=9 よってm=6,7,8 ,n=5,4,3$\\   $よって一の位の組みを種類は,(5,7,8),(5,6,9),(4,7,9),(3,8,9)$\\   $以上の8通りだから,\displaystyle\frac{8\times3!}{9\times8\times7}=\frac{2}{21}\cdots(答)$\\ (3) $a+b+cの一の位が偶数となるのは,一の位の組みを種類を(l,m,n)とすると,\\   l,m,nのすべて偶数か,2つが奇数他の1つが偶数かである$\\   9枚のカードのうち5枚が奇数,4枚が偶数であるから,\\   $\displaystyle\frac{{}_4C _3\times3!+{}_5C _2\times{}_4C _1\times3!}{9\times8\times7}=\frac{11}{21}\cdots(答)$\\ (4) $a+b+cが最小となるのは,百の位の数字の組合せが(1,2,3),十の位の数字の組合せ\\   が(4,5,6),一の位の数字の組合せが(7,8,9)であり,\\   a+b+c=100(1+2+3)+10(4+5+6)+(7+8+9)=774,\\   次に大きい数は,a+b+c=100(1+2+4)+10(3+5+6)+(7+8+9)=864>860\\   となり,前者の組合せだけであるから    $ \\      $\displaystyle\frac{3!\times3!\times3!}{9!}=\frac{1}{1680}\cdots(答)$\\