防衛大学校 理工(2日目) 2009年度 問1

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解答作成者: あんじいさん

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2009年度
問No 問1
学部
カテゴリ 二次関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\framebox{\parbox{5in}{ 2つの曲線$ C_ {1}:y=-x^2+9, C_ {2}:y=-x^2+ax+b$ があり, $C_ {2}$は2点 A(3,-3), B(5,-7)を通るものとする。このとき,次の問に答えよ。 (1)定数$a,b$の値を求めよ。また,2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}$の交点Pの$x座標x_{0}$を求めよ。 (2)2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}$の両方に接する直線を$l$とするとき,$ C_ {1}とlとの接点Qのx座標x_ {1}$を求めよ。 (3)2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}$と直線$l$によって囲まれた図形の面積Sを求めよ。}}\\ (1)曲線$C_ {2}$がA(3,-3), B(5,-7)を通るから  $ -3^2+3a+b=-3\cdots \textcircled{\scriptsize1}   ,  -5^2+5a+b=-7\cdots \textcircled{\scriptsize2}$  \textcircled{\scriptsize1}よリ$ 3a+b=6$ , \textcircled{\scriptsize2}よリ$ 5a+b=18 $連立して$ a=6 b=-12\cdots(答)$  よって、曲線$C_ {2}はy=-x^2+6x-12$となり\\   2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}の交点のx座標はx_{0}=\frac{7}{2}\cdots(答)$\\ (2)2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}$の共通接線を$ y=mx+n$とする\\  $ C_ {1}$と接することから$ -x^2+9=mx+n$の判別式が0\\  よって$ m^2-4(n-9)=0\cdots \textcircled{\scriptsize3}$\\ $   C_ {2}$と接することから$ -x^2+6x-12=mx+n$の判別式が0\\  よって$ (m-6)^2-4(n+12)=0\cdots \textcircled{\scriptsize4}$\\   \textcircled{\scriptsize3},\textcircled{\scriptsize4}を連立して、$m=-4,n=13を得て、共通接線はy=-4x+13$となり\\$   C_ {1}$との接点を求めると$x_{1}=2\cdots(答)$\\ (3)求める面積は \[\int_{2}^{7/2} \{(-4x+13)-(-x^2+9)\} dx +\int_{7/2}^{5} \{(-4x+13)-(-x^2+6x-12)\} dx \] \\ \[=\int_{2}^{7/2}(x-2)^2 dx +\int_{7/2}^{5} (x-5)^2dx=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 +\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{9}{4}\cdots(答)\] \\ <解説>\\   一般的に、$ C_ {1}:y=ax^2, C_ {2}は C_ {1}をx軸方向にp(>0)、x軸方向にq並行移動した\\  y=a(x-p)^2+q$であるとき、\\   2つの曲線$ C_ {1},C_ {2}$と共通接線$l$によって囲まれた図形の面積は $\frac{{ap}^3}{12}$であり\\  $ C_ {1}$と$l$との接点の$x座標をx_{1},C_ {2}$と$l$との接点の$x座標をx_{2}$とし,$ C_ {1},C_ {2}$の交点の\\  $x座標をx_{0}$とするとき、$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$が成り立つ