早稲田大学 政治経済学部 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 政治経済学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\fbox{\ \parbox{162mm}{\tabtopsp{-3mm}\quad 1回投げて表が 出る確率$p,\ \,裏が出る確率1-p$のコインが1枚ある。このコインを\makebox[1zw][c]{1}日に4回 \\[1mm]投げる試行をTとする。このとき,次の各問に答えよ。答のみ解答欄に記入せよ。\\[5mm]% \paalen{\hspace*{-.5pt}\textgt{1}\hspace*{.5pt}}\quad 試行Tにおいて,2回以上 表が出る確率$Aを,\ \ p$の多項式として降べきの順に表せ。\\[5mm]% \paalen{\textgt{2}}\quad 試行Tを5日間続ける試行をSとする。\\[5mm]% \makebox[5zw][l]{\qquad(\makebox[1zw][c]{i})}試行Sにおいて,5日間の中で ちょうど3日だけ1日に2回以上表が出て,かつ,2日以\\[1mm]\hspace*{4zw}上連続 して1日に2回以上表が出る確率を,$A$を用いて表せ。\\[5mm]% \makebox[5zw][l]{\qquad(\makebox[1zw][c]{ii})}試行Sにおいて,2日以上連続して 1日に2回以上表が出る確率を,$A$の多項式として\\[1mm]\hspace*{4zw}降べきの順に表せ。 \vspace*{3mm}}\ } \quad \\[4mm]% \paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}\ \ 試行Tにおいて, ちょうど$k回表が出るのは,\\ \hspace*{6zw} 根元事象の確率が\ p^k(1-p)^{4-k} $ \\[.5mm]% \quad であり,4回のうちどの$k回が表であるかを考えて \\ \hspace*{6zw} 根元事象は\ {}_4\mbox{C}_k\,通り $ \\[.5mm]% \quad であるから,試行Tにおいてちょうど$k回表が出る確率は \\ \hspace*{6zw} {}_4\mbox{C}_k\ p^k(1-p)^{4-k} \quad (k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4) \\[.5mm] \quad\, 2回以上表が出るのは\ k=2,\ 3,\ 4のときであるから,確率Aは \\ \makebox[6.8zw][r]{$A$}={}_4\mbox{C}_2\ p^2(1-p)^2+{}_4\mbox{C}_3\ p^3(1-p) +{}_4\mbox{C}_4\ p^4 \\ \hspace*{6.8zw} =6\hspace*{.5pt}(p^2-2p^3+p^4+4\hspace*{.5pt}(p^3-p^4)+p^4 \\ \hspace*{6.8zw} =3p^4-8p^3+6p^2 \ \ \ (答) $ \\[4mm]% \paalen{\textgt{2}}\ \ \raisebox{.5pt}{(\makebox[3mm][c]{i})}\ \ 試行Tにおいて \paalen{1}の事象を$a,\ \,その余事象をb$とすると,試行Sにおけ\\ \qquad る題意の事象は,5日間の中でちょうど3日間だけ$aとなるうち\ ababa以外であ \\ \qquad るから,求める確率は \\ \hspace*{6zw} ({}_5\mbox{C}_3-1)A^3(1-A)^2=9A^3(1-A)^2 \ \ \ (答) $ \\[4mm]% \quad(\makebox[3mm][c]{ii})\ \ 試行Sにおいて,2日以上連続して1日に2回以上表が 出る場合は,\raisebox{.5pt}{(\makebox[3mm][c]{i})}の事\\ \qquad 象以外に $ \\ \hspace*{6zw}\raisebox{1pt}{\footnotesize$\bullet$}\ \, 5日間の中でaが2日連続し,他の3日はbである \\ \hspace*{6zw}\raisebox{1pt}{\footnotesize$\bullet$}\ \, 5日間の中でaがちょうど4日起こる \\ \hspace*{6zw}\raisebox{1pt}{\footnotesize$\bullet$}\ \,5日ともaである \\ [.5mm]\qquad の各場合があるから,求める確率は \\ \hspace*{6zw} 9A^3(1-A)^2+4A^2(1-A)^3+5A^4(1-A)+A^5 \\ \hspace*{6zw} =9A^3(1-2A+A^2)+4A^2(1-3A+3A^2-A^3)+5(A^4-A^5)+A^5 \\ \hspace*{6zw} =A^5-A^4-3A^2+4A^2 \ \ \ (答) \\[4mm] \paalen{注} \\ \ 1^\circ\ \ 5日間のうち事象aが4日あれば,必然的に2日以上連続することがある。\\ \ 2^\circ\ \,\paalen{1}の\raisebox{.5pt}{(\makebox[3mm][c]{ii})}は,初めて事象 aが連続した日で場合分けして解いてもよい。\\ \hspace*{7zw} \makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c] {$*$}\makebox[1zw][c]{$*$}\makebox[1zw][c]{$*$} \quad \makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$a$} \makebox[1zw][c]{$*$}\makebox[1zw][c]{$*$} \quad \makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c] {$a$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$*$} \quad \makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c]{$a$} \makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$*$} \\ \hspace*{7zw} \makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c] {$b$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$a$} \quad \makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c] {$b$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$a$} \quad \makebox[1zw][c]{$b$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c] {$b$}\makebox[1zw][c]{$a$}\makebox[1zw][c]{$a$} \\[.5mm] \quad の各場合の確率の和を求めて,\\ \hspace*{5zw} A^2+(1-A)A^2+(1-A)^2 A^2+(1-A)A^3+(1-A)^3 A^2+2A^3(1-A)^2 \hspace*{1zw}\\ [.3mm]\hspace*{5zw} =A^2+(1-A)A^2+(1-2A+A^2)A^2+(1-A)A^3 \\ \hspace*{8zw} +(1-3A+3A^2-A^3)A^2+2A^3(1-2A+A^2) \\[.3mm] \hspace*{5zw} =A^5-A^4-3A^3+4A^2 $ \end{document}