早稲田大学 政治経済学部 2011年度 問2

問題へ戻る

解答作成者: 大塚 美紀生

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2011年度
問No 問2
学部 政治経済学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\fbox{\ \parbox{162mm} {\tabtopsp{0mm}\quad 次の問に答えよ。$ \\[6mm]% \paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}\quad a,\ \,b\ は整数で, \ \ 2次方程式 \\[4mm] \hspace*{6.7zw} x^2+ax+b=0 \ \ \3dots\3dots\ \ (\mbox{A}) \\[4mm] \quad\ \ が異なる2つの実数解\ \alpha\,,\ \,\beta\ をもつとする。このとき,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ はともに整数であるか,とも\\[1mm]\quad\ \ に無理数であるかの いずれかであることを証明する。以下の問に答え,証明を完成せよ。\\[1mm] \qquad\ \ まず,\ \ b=0\ のときは,\ \ x^2+ax=0\ であるから\ \, \raisebox{.5pt}{(A)}\ \,は整数解0\,,\ \,-\,a\ \,をもつ。以下では\\[1mm] \quad\ \ \,b\neq 0\ とする。\\[1mm] \qquad\ \ 解と係数の関係より\ \alpha+\beta=-\,a,\ \ \alpha\beta=b\ であり, これらは整数である。有理数と無理数\\[1mm]\quad\ \ の和は有理数でなく,整数と 整数以外の有理数の和は整数でないという事実を用いると,\ \ \alpha\,,\\[1mm] \quad\ \ \,\beta\ がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい。\\[1mm] \qquad\ \ そこで,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ が2以上の整数\ \raisebox{1pt} {$p_1^{},\ \,p_2^{}$}\ と,\ \ 0でない整数\ \raisebox{1pt}{$q_1,\ \,q_2$}\ を用いて,既約分数 \\[4mm]\hspace*{7zw} \alpha=\dfrac{q_1^{}}{p_1^{}}\hspace*{1pt},\ \,\beta=\dfrac{q_2^{}}{p_2^{}} \\[4mm]\quad\ \ で表されると仮定する。ここに,\ \ \dfrac{q_i^{}}{p_i^{}}\ (\, i=1\,,\,2\,)\ が既約分数であるとは,\ \ \raisebox{1pt}{$p_i^{}$}\ と\ \raisebox{1pt}{$|\,q_i^{}\,|$}\ の最大公約\\[1mm]\quad\ \ 数が1であることを いう。このとき,\\[4mm]\hspace*{6.7zw} \begin{array}{r@{\,=\,}lc} \alpha+\beta & \dfrac{p_2^{}q_1^{}+p_1^{}q_2^{}} {p_1^{}p_2^{}} & \3dots\3dots\quad\maru{1} \\[4mm] \alpha\beta & \dfrac{q_1^{}q_2^{}}{p_1^{}p_2^{}} & \3dots\3dots\quad\maru{2} \end{array} \\[4mm]\quad\ \ である。\\[4mm] \quad\ \ \textbf{問\maru{1}}\ \ \maru{1}において,\ \ \alpha+\beta\ が整数であ ることを用いて,\ \ \raisebox{1pt}{$p_1^{}=p_2^{}$}\ であることを示せ。\\[4mm] \quad\ \ \textbf{問\maru{2}}\ \ \maru{2}において,\ \ \alpha\beta\ が整数である ことと\textbf{問\maru{1}}の結果から,既約分数の仮定に矛盾することを\\[1mm] \hspace*{3.7zw}示せ。\\[4mm] \hspace*{2.6zw}\textbf{問\maru{2}}の結果から,\ \ \alpha\,,\ \,\beta\ はともに 整数であるか,ともに無理数であることが示された。\\[6mm] \paalen{\textgt{2}}\quad c\ が自然数のとき,\ \,\sqrt{c}\ \,は自然数であるか 無理数であることを証明せよ。$\\}\ } \quad $ \\ \makebox[6zw][l]{\paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}} x^2+ax+b=0 \quad \paalen{a,\ bは整数} \quad\3dots\3dots\quad (\mbox{A}) \\ [.5mm]\quad\, b=0のときは,\\ \hspace*{6zw} (\mbox{A})\ \ x(x+a)=0 \\[.3mm] \quad は整数解0,\ -aをもつ。以下,\ \ b\neq 0とする。\\ \qquad 解と係数の関係より\\ \hspace*{6zw} \alpha+\beta=-a,\ \ \alpha\beta=b \\[.3mm] \quad 有理数と無理数の和および\,\paalen{0でない}積は無理数であることと,\\ \hspace*{6zw} \alpha\,が整数でないなら\ \beta=-a-\alpha\,も整数でない \\ [.3mm]\quad ことを考え,\\ \hspace*{6zw} \alpha,\ \beta\,がともに整数以外の有理数 \\ \quad であると仮定して矛盾を導く。\\ \qquad\, 2以上の整数p_1^{},\ p_2^{}\,と,\ \,0でない整数q_1^{},\ q_2^{}\,を 用いて,既約分数 \\[2mm]\hspace*{6zw} \alpha=\dfrac{\,q_1^{}}{\,p_1^{}},\ \ \beta=\dfrac{\,q_2^{}}{\,p_2^{}} \\ [2mm]\quad で表されると仮定することができて,\\[2mm] \hspace*{6zw} \alpha+\beta=\dfrac{\,p_2^{}q_1^{}+p_1^{}q_2^{}} {p_1^{}p_2^{}} \hfill\3dots\3dots\quad \maru{1} \hspace*{17zw}\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \alpha\beta=\dfrac{\,q_1^{}q_2^{}}{\,p_1^{}p_2^{}} \hfill \3dots\3dots\quad \maru{2} \hspace*{17zw}\\[5mm] \quad\textbf{問\maru{1}}\ \ \maru{1}より \\ \hspace*{7zw} p_2^{}q_1^{}+p_1^{}q_2^{}=p_1^{}p_2^{}(\alpha+\beta) \\[.5mm] \qquad\, \alpha+\beta\ は整数であることを考えると,\ \ p_2^{}\hspace*{.5pt}q_1 ^{}\hspace*{1pt}はp_1^{}で割り切れるが,\ \ q_1^{}\hspace*{1pt}とp_1^{}は互い\\ \qquad に素であるから,\\ \hspace*{7zw} p_2^{}\,はp_1^{}で割り切れる。\\[.5mm] \qquad また,\ \ p_1^{}q_2^{}\hspace*{1pt}はp_2^{}で割り切れるが,\ \ q_2^{} \hspace*{1pt}とp_2^{}\,は互いに素であるから,\\ \hspace*{7zw} p_1^{}\,はp_2^{}で割り切れる。\\[.5mm] \qquad\, p_1^{}\geqq 2,\ \,p_2^{}\geqq 2であるから,以上の議論より p_2^{}\geqq p_1^{}\ かつ\ p_1^{}\geqq p_2^{}\,が成り立ち,\\ \hspace*{7zw} p_1^{}=p_2^{} \hfill \paalen{証明おわり} \\[4mm] \quad\textbf{問\maru{2}}\ \ 問\maru{1}より \\ \hspace*{7zw} q_1^{}q_2^{}\,とp_1^{}p_2^{}\,(={p_1^{}\!}^2={p_2^{}\!}^2)は互いに素 \\ \qquad であるから,\ \ \maru{2}より \\ \hspace*{7zw} |\hspace*{1pt}p_1^{}p_2^{}|=1 \\[.5mm] \qquad ところが,\ \ p_1^{}\geqq 2,\ \,p_2^{}\geqq 2よりp_1^{}p_2^{}\geqq 4で あるから,これは矛盾である。\\ \hfill \paalen{証明おわり}\\[5mm] \paalen{\textgt{2}}\ \ \paalen{1}より,\ \ 2次方程式 \\ \hspace*{6zw} x^2-c=0 \\[.3mm] \quad の2解\pm\!\sqrt{\,c\,}\,はともに整数,またはともに無理数である。\\ \quad \sqrt{\,c\,}>0であるから,\ \ \sqrt{\,c\,}\,は自然数または \paalen{正の}無理数である。$ \hfill \paalen{証明おわり} \end{document}