早稲田大学 政治経済学部 2011年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2011年度
問No 問1
学部 政治経済学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{#1}}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\fbox{\ \parbox{163mm}{\quad\,\tabtopsp{.5mm} \fboxrule=1pt\fboxsep=1.2mm曲線\ $y\,=\,\log_4 x\ 上に,そのx座標を,それぞれ,\ \ \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}t,\ \,t,\ \,2\hspace*{1pt}t\ (\,t>0\,)$\ と する3点P\,,\ \ \,Q\,,\ \ \,Rを\\[.5mm]とる。このとき,PとRの距離は\ \raisebox{1pt} {\fbox{\footnotesize\ (ア)\ }}\ であり,$\triangle$PQRの面積は\ \raisebox{1pt} {\fbox{\footnotesize\ (イ)\ }}\ である。空欄にあてはま\\[1mm]る$t$の式を解答欄に記入 せよ。\vspace*{2.5mm}}\ } \quad \\ \qquad 対数の公式より $\displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \log_4 \frac{1}{\,2\,}t=\log_4 \frac{1}{\,2\,}+\log_4 t =\log_4 4\raisebox{7pt}{\small$-\frac{1}{\,2\,}$}+\log_4 t =-\frac{1}{\,2\,}+\log_4 t \\[2mm] \quad であり,\ \ 3点の座標は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \mbox{P}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}t,\ \,\log_4 t-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)$,\ \ Q$(t, \ \log_4 t)$,\ \ R$\Bigl(2t,\ \,\log_4 t+\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr) \\[2mm] \quad であるから,\displaystyle \\[.5mm]\hspace*{6zw} \overline{\mbox{PR}}^{\,2}=\Bigl(2t-\frac{1}{\,2\,}t\Bigr)^{\!2}\hspace* {-1pt}+\biggl\{\!\Bigl(\log_4 t+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)-\Bigl(\log_4 t- \frac{1}{\,2\,}\Bigr)\!\biggr\}\hspace*{-.5pt}\raisebox{11pt} {\footnotesize 2}\hspace*{-1pt}=\frac{\,9\,}{4}t^{\hspace*{.5pt}2}+1 \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \overline{\mbox{PR}}=\ansbox{\!\sqrt{\dfrac{9} {\,4\,}t^{\hspace*{.5pt}2}+1\,}}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(ア)} \\[2mm] \quad\,\Vec{PR}=\Bigl(\frac{\,3\,}{2}t,\ 1\Bigr),\ \,\Vec{PQ}=\Bigl(\frac{1} {\,2\,}t,\ \frac{1}{\,2\,}\Bigr)であるから,面積公式より,\ \ \triangle\mbox{PQR}の面積Sは \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S=\frac{1}{\,2\,}\biggl|\frac{\,3\,}{2}t\times\frac{1}{\,2\,} -1\times\frac{1}{\,2\,}t\,\biggr|=\ansbox{\dfrac{1}{\,8\,}t}\ \raisebox{1pt}{\scriptsize(イ)} $ \end{document}