東京工業大学 前期 2011年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\Ten{\begin{picture}(8,8) \put(4, 3.5){\circle*{2}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\parbox{136mm}{実数$xに対して \displaystyle \\[2mm]\hspace*{11zw} f(x)\hspace*{-1pt}=\!\int_0^{\mbox{\small$\frac{\,\pi\,}{2}$}} |\hspace* {2pt}\cos t-x\hspace*{1pt}\sin\hspace*{1pt}2t\makebox[10pt][c]{$|$}dt \\ [2mm]とおく.\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ 関数f(x)の最小値を求めよ.\\[4mm] (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ 定積分\int_0^{\hspace*{1pt}1} f(x)\,dx\ を求めよ.$} \end{FRAME} \quad $ \\ (1)\quad \cos t-x\sin 2t=\cos t-x\ten 2\sin t\cos t=(1-2x\sin t)\cos t \\[.5mm] \quad\, 2x\geqq 1のとき \displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} \sin\alpha=\frac{1}{\,2x\,} \quad \Bigl(0<\alpha\leqq\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr) \\[-2mm] \hspace*{30.5zw} \begin{picture}(0,0) \path(-18,0)(60,0) \path(55, -1.5)(60,0)(55, 1.5) \put(55,-9){$t$} \path(0,-18)(0,42) \path(-1.5, 37)(0,42)(1.5, 37) \put(-9,-9){\small O} \qbezier(0,20)(20,20)(40,0) \put(35,-10){$\frac{\,\pi\,}{2}$} \qbezier(0,0)(10,28)(20,28) \qbezier(20,28)(30,28)(40,0) \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(0,28)(20,28) \put(-7.5, 26){$x$} \dashline[30]{1.5}(9,0)(9,18) \put(6,-8){$\alpha$} \put(-7,17){\small 1} \end{picture} \\[-1mm] \quad により実数\,\alpha\,を定めると \\[1mm]\makebox[8zw][r] {$f(x)$}=\int_0^{\hspace*{1pt}\alpha} (\cos t-x\sin 2t)\,dt+\!\int_\alpha ^{\mbox{\small$\frac{\,\pi\,}{2}$}} (x\sin 2t-\cos t)\,dt \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =\left[\,\sin t+\frac{\,x\,}{2}\cos 2t\,\right]_0^\alpha +\left[-\frac{\,x\,}{2}\cos 2t-\sin t\,\right]_\alpha^{\!\mbox{\small$ \frac{\,\pi\,}{2}$}} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =2\Bigl(\sin\alpha+\frac{\,x\,}{2}\cos 2\alpha\Bigr) -\frac{\,x\,}{2}+\Bigl(\frac{\,x\,}{2}-1\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =2\sin\alpha+x(1-2\sin^2 \alpha)-1 \\[1.5mm]\hspace*{8zw} =2\ten\frac{1}{\,2x\,}+x\Bigl(1-2\ten\frac{1}{\,4x^2}\Bigr)-1 \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =x+\frac{1}{\,2x\,}-1 \\[2mm] \quad 相加\Ten 相乗平均の不等式より \\[1mm]\hspace*{6zw} f(x)\geqq 2\sqrt{\,x\ten\frac{1}{\,2x\,}\,}-1=\sqrt{\,2\,}-1 \\[1.5mm] \quad ここで,不等式の等号は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} x=\frac{1}{\,2x\,}\ かつ \,\ x\geqq\frac{1}{\,2\,},\ \ すなわち \,\ x=\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,} \\[1.5mm] \quad のとき成り立つ。\\[2mm] \qquad\, x\leqq\frac{1}{\,2\,}\,のとき \\[1mm]\makebox[8zw][r] {$f(x)$}=\int_0^{\mbox{\small$\frac{\,\pi\,}{2}$}} (\cos t-x\sin 2t)\,dt \\ [1.5mm]\hspace*{8zw} =\left[\,\sin t+\frac{\,x\,}{2}\cos 2t\,\right]_0 ^{\!\mbox{\small$\frac{\,\pi\,}{2}$}} \\[1.5mm] \hspace*{8zw} =1+\frac{\,x\,}{2}(\cos\pi-\cos 0) \\[2mm] \hspace*{8zw} =1-x \\[.5mm] \quad は単調減少であるから,\ \ f(x)は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 最小値\ f\biggl(\!\frac{1}{\sqrt{\,2\,}\,}\hspace*{-2pt} \biggr)=\sqrt{\,2\,}-1 \ \ \ (答) \\[2mm] \quad をとる。\\[5mm] \makebox[7zw][l]{(2)\ \ $\displaystyle\int_0^{\hspace*{1pt}1}\! f(x)\,dx$} =\int_0^{\mbox{\small$\frac{1}{\,2\,}$}} (1-x)\,dx+\int_{\mbox{\small$\frac{1} {\,2\,}$}}^{\hspace*{1pt}1} \Bigl(x+\frac{1}{\,2x\,}-1\Bigr)\,dx \\[1.5mm] \hspace*{7zw} =\left[\,x-\frac{1}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{\!\mbox{\small$ \frac{1}{\,2\,}$}}+\left[\frac{1}{\,2\,}x^2+\frac{1}{\,2\,}\log x-x\, \right]_{\!\mbox{\small$\frac{1}{\,2\,}$}}^1 \\[1.5mm]\hspace*{7zw} =\frac{1}{\,2\,}-\frac{1}{\,2\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} +\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,4\,}\Bigr)+\frac{1}{\,2\,}\Bigl( 0-\log\frac{1}{\,2\,}\Bigr)-\Bigl(1-\frac{1}{\,2\,}\Bigr) \\[2mm] \hspace*{7zw} =\frac{1}{\,4\,}+\frac{1}{\,2\,}\log 2 \ \ \ (答) $ \end{document}