防衛大学校 理工(2日目) 2011年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2011年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}放物線 $C : y=x^2$ と直線 $L : y=x-1$ がある。$L$ 上の点A$(a,\hspace*{0.5zw}a-1)$から$C$に引いた2本の接線の接点をP,Qとし,P,Qの $x$ 座標をそれぞれ $\alpha$,$\beta$\hspace*{0.5zw}$(\alpha < \beta)$ とする。このとき,次の問に答えよ。\\ \vspace*{0.5zw} (1) $C$ 上の点 $(t,\hspace*{0.5zw}t^2)$ における接線の方程式を $y=mx+k$ とするとき,$m$,$k$ を $t$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $\alpha + \beta$ および $\alpha \beta$ を $a$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (3) 放物線$C$ と2本の接線で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とするとき,$\dfrac{S(a)}{\beta - \alpha}$ を $a$ の式で表せ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $y=x^2$ の両辺を $x$ で微分すると, $y'=2x$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$C$ 上の点$(t,\hspace*{0.5zw}t^2)$ における接線の方程式は \begin{equation*} \begin{split} y&=2t(x-t)+t^2\\ &=2tx-t^2 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,$m=\boldsymbol{2t}$,$k=\boldsymbol{-t^2}$\\ \vspace*{1zw} (2) (1)の接線が点Aを通るとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$a-1=2ta-t^2$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$t^2-2at+a-1=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これは,$t=\alpha$,$\beta$ を2解にもつ2次方程式なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}解と係数の関係より,$\alpha + \beta=\boldsymbol{2a}$,$\alpha \beta=\boldsymbol{a-1}$\\ \vspace*{1zw} (3) (1)より,2点P,Qにおける接線の方程式はそれぞれ\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$y=2\alpha x-\alpha^2$,$y=2\beta x-\beta^2$ なので,\\[-75mm] \begin{figure}[h] \hspace{90mm}\includegraphics[width=7cm,clip]{11bouei02.eps} \end{figure} \begin{equation*} \begin{split} S(a)&=\displaystyle \int_{\alpha}^a \left\{x^2-(2\alpha x-\alpha^2)\right\}dx+\displaystyle \int_a^{\beta}\left\{x^2-(2\beta x-\beta^2)\right\}dx\\ &=\displaystyle \int_{\alpha}^a(x-\alpha)^2dx+\displaystyle \int_a^{\beta}(x-\beta)^2dx\\ &=\Big[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^3\Big]_{\alpha}^a+\Big[\dfrac{1}{3}(x-\beta)^3\Big]_a^{\beta}\\ &=\dfrac{1}{3}(a-\alpha)^3-\dfrac{1}{3}(a-\beta)^3\\ &=\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\Big)^3-\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\beta\Big)^3\hspace*{1zw}\Big(\because \hspace*{0.3zw}a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\Big)\\ &=\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{\beta - \alpha}{2}\Big)^3-\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\Big)^3\\ &=\dfrac{1}{24}(\beta-\alpha)^3+\dfrac{1}{24}(\beta-\alpha)^3\\ &=\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^3 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}ここで,(2)より, \begin{equation*} \begin{split} (\beta-\alpha)^2&=(\beta+\alpha)^2-4\alpha\beta\\ &=(2a)^2-4(a-1)\\ &=4(a^2-a+1)\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{S(a)}{\beta-\alpha}&=\dfrac{\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^3}{\beta-\alpha}\\ &=\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^2\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}(a^2-a+1)} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}