防衛大学校 理工(2日目) 2011年度 問1

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(2日目)
年度 2011年度
問No 問1
学部
カテゴリ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}関数 $f(x)=4^x-2^{x+3}-2^{-x+3}+4^{-x}$ $(x \GEQQ 0)$ について,次の問に答えよ。\\ \vspace*{0.5zw} (1) $2^x+2^{-x}=t$ とおくとき,$f(x)$ を $t$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。\\ \vspace*{0.5zw} (3) $f(x)$ の最小値 $m$ とそのときの $x$ の値を求めよ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $t=2^x+2^{-x}$ より $t^2=4^x+4^{-x}+2$ なので, \begin{equation*} \begin{split} f(x)&=4^x+4^{-x}-8\cdot2^x-8\cdot2^{-x}\\ &=4^x+4^{-x}-8(2^x+2^{-x})\\ &=(t^2-2)-8t\\ &=\boldsymbol{t^2-8t-2} \end{split} \end{equation*} \vspace*{1zw} (2) $2^x>0$,$2^{-x}>0$ なので,相加・相乗平均の大小関係より, \vspace*{-1zw} \begin{equation*} \begin{split} t&=2^{x}+2^{-x}\\ &\GEQQ 2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}\\ &=2 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}このとき,等号は $2^x=2^{-x}$ より\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$2^{x}(>0)=1$ つまり $x=0$ のときのみ成立.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,求める $t$ のとり得る値の範囲は,$\boldsymbol{t \GEQQ 2}$\\ \vspace*{1zw} (3) $g(t)=t^2-8t-2$\hspace*{0.5zw}$(t \GEQQ 2)$ とおくと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$g(t)$ の最小値が,求める$f(x)$ の最小値 $m$ となる.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$g(t)=(t-4)^2-18$\hspace*{0.5zw}$(t \GEQQ 2)$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$t=4$ のとき,最小値 $g(4)=-18$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}このとき,最小値を与える $x$ の値は,$2^x+2^{-x}=4$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(2^x)^2+1=4\cdot2^x$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(2^x)^2-4\cdot2^x+1=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$2^{x}(\GEQQ 1)=2+\sqrt{3}$\hspace*{1zw}$(\because\hspace*{0.3zw}x \GEQQ 0)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw} x=\log_2{(2+\sqrt{3})}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}故に,$x=\boldsymbol{\log_2{(2+\sqrt{3})}}$ のとき,最小値 $m=\boldsymbol{-18}$ \end{flushleft} \end{document}