防衛大学校 理工(1日目) 2011年度 問15

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 防衛大学校
学科・方式 理工(1日目)
年度 2011年度
問No 問15
学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$f(x)=\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{\log{x}} e^{t^2}dt$ のとき,$f'\Big(\dfrac{1}{e}\Big)$ の値は次のどれか。ただし,$\log{x}$ は自然対数とする。\\ \vspace*{1zw} \hspace*{2.5zw}(1)\hspace*{1zw}$1$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.5zw}(2)\hspace*{1zw}$\dfrac{1}{e}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.5zw}(3)\hspace*{1zw}$e$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.5zw}(4)\hspace*{1zw}$e^2$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.5zw}(5)\hspace*{1zw}上のどれでもない。\\ \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$a$ を定数とし,$x$ の関数 $f(x)$,$g(x)$ に対して,$g(x)$ の原始関数の一つを $G(x)$ とすると, \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{d}{dx}\displaystyle \int_a^{f(x)}g(t)dt&=\dfrac{d}{dx}\Big[G(t)\Big]_a^{f(x)}\\ &=\dfrac{d}{dx}\left\{G(f(x))-G(a)\right\}\\ &=g(f(x)) \cdot f'(x) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これより,$f(x)=\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{\log{x}} e^{t^2}dt$ の両辺を $x$ で微分すると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$f'(x)=e^{(\log{x})^2} \cdot \dfrac{1}{x}$ となるので, \begin{equation*} \begin{split} f'\Big(\dfrac{1}{e}\Big)&=e^{(\log{\frac{1}{e}})^2} \cdot e\\ &=e^{(-1)^2}\cdot e\\ &=\boldsymbol{e^2} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}