首都大学東京 文系 2011年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 文系
年度 2011年度
問No 問3
学部 都市教養学部<文>
カテゴリ 図形と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\para{% \setlength{\unitlength}{1pt}% \thinlines % \begin{picture}(12, 12)% \put(0,0){/}\put(2,0){/} \end{picture}% }% \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}原点をOとする座標平面上に点A$(3,\hspace*{0.5zw}0)$ を中心とし半径が $r_1$ の円 $\textrm{C}_1$ と,点B$(1,\hspace*{0.5zw}0)$ を中心とし半径が $r_2$ の円 $\textrm{C}_2$ がある。$\textrm{C}_1$ 上に $y$ 座標が正である点 $\textrm{P}_1$ をとり,$\angle \textrm{OAP}_1=\theta$ とする。$\textrm{C}_2$ 上に $y$ 座標が負である点 $\textrm{P}_2$ を,ベクトル$\overrightarrow{\textrm{AP}_1}$ と $\overrightarrow{\textrm{BP}_2}$ が平行であるようにとるとき,以下の問いに答えなさい。\\ \vspace*{1zw} (1) $\textrm{P}_1$,$\textrm{P}_2$ の座標を $r_1$,$r_2$,$\theta$ でそれぞれ表しなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $r_1+r_2<2$ とする。$\textrm{P}_1$,$\textrm{P}_2$ を通る直線が $\textrm{C}_1$ と $\textrm{C}_2$ の両方に接するとき,$\cos{\theta}$ を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (3) (2) の条件のもとで $\triangle \textrm{OP}_1\textrm{P}_2$ の面積を $r_1$,$r_2$ で表しなさい。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1)\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\textrm{AP}_1}$ と $x$ 軸の正の方向とのなす角は $\pi-\theta$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AP}_1}&=(r_1\cos{(\pi-\theta)},\hspace*{0.5zw}r_1\sin{(\pi-\theta)})\\ &=(-r_1\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}r_1\sin{\theta})\hspace*{1zw}より, \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{OP}_1}&=\overrightarrow{\textrm{OA}}+\overrightarrow{\textrm{AP}_1}\\ &=(3-r_1\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}r_1\sin{\theta}) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,$\textrm{P}_1$ の座標は,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\textrm{P}_1\boldsymbol{(3-r_1\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}r_1\sin{\theta}})$\\[-50mm] \begin{figure}[h] \hspace{85mm}\includegraphics[width=6cm,clip]{11syutodaigakutokyobun003.eps} \end{figure} \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\textrm{BP}_2}$ と $x$ 軸の正の方向とのなす角は,$\overrightarrow{\textrm{AP}_1} \para\overrightarrow{\textrm{BP}_2}$ より $-\theta$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{BP}_2}&=(r_2\cos{(-\theta)},\hspace*{0.5zw}r_2\sin{(-\theta)})\\ &=(r_2\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}-r_2\sin{\theta})\hspace*{1zw}より, \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{OP}_2}&=\overrightarrow{\textrm{OB}}+\overrightarrow{\textrm{BP}_2}\\ &=(1+r_2\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}-r_2\sin{\theta}) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,$\textrm{P}_2$ の座標は,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\textrm{P}_2\boldsymbol{(1+r_2\cos{\theta},\hspace*{0.5zw}-r_2\sin{\theta}})$\\ \vspace*{2zw} (2) $r_1+r_2<2$ より,2円$\textrm{C}_1$,$\textrm{C}_2$ は共有点をもたない.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}直線 $\textrm{P}_1 \textrm{P}_2$ が $\textrm{C}_1$,$\textrm{C}_2$ の共通接線となるとき,$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}直線 $\textrm{P}_1 \textrm{P}_2$ と $x$ 軸との交点をQとすると,$\triangle \textrm{AP}_1\textrm{Q} と \triangle \textrm{BP}_2\textrm{Q}$ が相似であるので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\textrm{AQ} : \textrm{BQ}=r_1 : r_2$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また,$\textrm{AB}=2$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\textrm{AQ}=\dfrac{2r_1}{r_1+r_2}$,$\textrm{BQ}=\dfrac{2r_2}{r_1+r_2}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{split} \cos{\theta}&=\dfrac{\textrm{AP}_1}{\textrm{AQ}}\\ &=\dfrac{\textrm{BP}_2}{\textrm{BQ}}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{r_1+r_2}{2}} \end{split} \end{equation*} \vspace*{1zw} \\ (3) 求める $\triangle \textrm{OP}_1\textrm{P}_2$ の面積は,(1),(2) より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\dfrac{1}{2}|(3-r_1\cos{\theta})\cdot(-r_2\sin{\theta})-(1+r_2\cos{\theta})\cdot(r_1\sin{\theta})|$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}|-(r_1+3r_2)\sin{\theta}|$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}(r_1+3r_2)\sin{\theta}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}(r_1+3r_2)\sqrt{1-\dfrac{(r_1+r_2)^2}{4}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}(r_1+3r_2)\sqrt{(2+r_1+r_2)(2-r_1-r_2)}}$ \end{flushleft} \end{document}