首都大学東京 文系 2011年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 文系
年度 2011年度
問No 問2
学部 都市教養学部<文>
カテゴリ 指数関数と対数関数 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}関数 $y=8^x-3\cdot2^x$ について,以下の問いに答えなさい。\\ \vspace*{1zw} (1) $y$ の値が0となる $x$ の値を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $y$ の最小値と,$y$ の最小値を与える $x$ の値を求めなさい。\\ \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $y=0$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$8^x-3\cdot2^x=0$ となり,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$2^x=X$ とおくと,$X>0$ で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$X^3-3X=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$X(X+\sqrt{3})(X-\sqrt{3})=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$X>0$ より $X=\sqrt{3}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}つまり,$2^x=\sqrt{3}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}x=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\log_2{3}}$\\ \vspace*{1zw} (2) (1)と同様に,$2^x=X\hspace*{0.5zw}(X>0)$ とおくと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$y=X^3-3X$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより, \begin{equation*} \begin{split} y'&=3X^2-3\\ &=3(X+1)(X-1) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$y'=0$ とすると,$X>0$ より $X=1$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,次の増減表を得る. \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} X & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ y' & & - & 0 & + \\ y & & \searrow & & \nearrow \\ \end{array} \] \hspace*{1zw}故に,$X=1$ つまり $x=\boldsymbol{0}$ のとき,最小値 $\boldsymbol{-2}$ \end{flushleft} \end{document}