学習院大学 経済学部 2011年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 学習院大学
学科・方式 経済学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 経済学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$n$ を自然数とする。\\ \vspace*{0.5zw} (1) 不等式 \begin{center} $\Big(1+\dfrac{2}{n}\Big)^n \GEQQ 3$ \end{center} \hspace*{1zw}が成り立つことを証明せよ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) 不等式 \begin{center} $(n+1)^{n-1}(n+2)^n \GEQQ 3^n(n!)^2$ \end{center} \hspace*{1zw}が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。\\ \begin{flushright} (40点) \end{flushright} \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $\Big(1+\dfrac{2}{n}\Big)^n$ を二項展開すると\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\Big(1+\dfrac{2}{n}\Big)^n=_n\textrm{C}_0+_n\textrm{C}_1\cdot\dfrac{2}{n}+_n\textrm{C}_2\Big(\dfrac{2}{n}\Big)^2+\cdots+_n\textrm{C}_n\Big(\dfrac{2}{n}\Big)^n$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}右辺の各項は正なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\Big(1+\dfrac{2}{n}\Big)^n \GEQQ _n\textrm{C}_5+_n\textrm{C}_1\cdot\dfrac{2}{n}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{7.9zw}$=3$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,$\boldsymbol{与式の成立は示された.等号は,n=1 のときのみ成立.}$\\ \vspace*{1zw} (2)\\ \hspace*{0.5zw}(i) $n=1$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(n+1)^{n-1}(n+2)^n=3$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$3^n(n!)^2=3$\hspace*{1zw}より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$n=1$ のとき,等号が成り立つ.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}(ii) $n=k$\hspace*{0.5zw}$(k は自然数)$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$(k+1)^{k-1}(k+2)^k \GEQQ 3^k(k!)^2\hspace*{0.5zw}\cdots \cdots \MARU{1}$ の成立を仮定して,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.3zw}$n=k+1$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$(k+2)^k(k+3)^{k+1} \GEQQ 3^{k+1}\left\{(k!)\right\}^2\hspace*{0.5zw}\cdots \cdots \MARU{2}$ の成立を示す.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\MARU{1}$ の両辺に $3(k+1)^2\hspace*{0.5zw}(>0)$ をかけると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(k+1)^{k-1}(k+2)^k\cdot3(k+1)^2 \GEQQ 3^k(k!)^2\cdot3(k+1)^2$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$3(k+1)^{k+1}(k+2)^k \GEQQ 3^{k+1}\left\{(k+1)!\right\}^2$\hspace*{1zw}となり,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\MARU{2}$ を示すことは,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$(k+2)^k(k+3)^{k+1} \GEQQ 3(k+1)^{k+1}(k+2)^k\hspace*{0.5zw}\cdots \cdots \MARU{3}$ を示すことと同値である.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$3(k+1)^{k+1}(k+2)^k>0$ なので,$\MARU{3}$ を示すために,$\dfrac{(k+3)^{k+1}}{3(k+1)^{k+1}} \GEQQ 1$ を示す. \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{(k+3)^{k+1}}{3(k+1)^{k+1}}&=\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{k+3}{k+1}\Big)^{k+1}\\ &=\dfrac{1}{3}\Big(1+\dfrac{2}{k+1}\Big)^{k+1}\\ &\GEQQ \dfrac{1}{3}\cdot3\\ &=1 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}よって,$\MARU{3}$ の成立が示された.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより,$\MARU{2}$ つまり $n=k+1$ のときも成り立つことが示された.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}(iii) 以上より,すべての自然数 $n$ に対して,$\boldsymbol{与式の成立は示された.等号は,n=1 のときのみ成立.}$ \end{flushleft} \end{document}