東京農工大学 前期 2011年度 問4

問題へ戻る

解答作成者: 門 直之

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 東京農工大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問4
学部 農学部 ・ 工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$c$ を正の実数とする。関数 $f(x)=(x+c)e^{2x}$ について,次の問いに答えよ。ただし,$e$ は自然対数の底とする。\\ \vspace*{1zw} (1) $y=f(x)$ は $x=k$ のとき最小値 $m$ をとる。このとき,$k$ と $m$ を $c$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $k$ を(1)で求めた値とする。このとき,定積分\\ \vspace*{0.5zw} \hspace{5zw}$T=\displaystyle \int_k^{-c}f(x)dx$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}を $c$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (3) $T$ を(2)で求めた値とする。区間 $-c \LEQQ x \LEQQ 0$ において,曲線 $y=f(x)$,$x$ 軸および $y$ 軸のすべ\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}てで囲まれた部分の面積を $S$ とする。$S=\dfrac{e}{2-e}T$ となるときの $c$ の値を求めよ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $f(x)=(x+c)e^{2x}\hspace*{0.5zw}(c>0)$ より \begin{equation*} \begin{split} f'(x)&=e^{2x}+2(x+c)e^{2x}\\ &=e^{2x}(2x+2c+1) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$f'(x)=0$ とすると,$e^{2x}>0$ より\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$2x+2c+1=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}x=-\dfrac{2c+1}{2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,次の増減表を得る. \[ \begin{array}{c||c|c|c} x & \cdots & -\dfrac{2c+1}{2} & \cdots \\ f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & & \nearrow \\ \end{array} \] \hspace*{1zw}これより,$f(x)$ の最小値は, \begin{equation*} \begin{split} f\Big(-\dfrac{2c+1}{2}\Big)&=\Big(-\dfrac{2c+1}{2}+c\Big)e^{-(2c+1)}\\ &=\dfrac{-(2c+1)+2c}{2}e^{-(2c+1)}\\ &=-\dfrac{1}{2}e^{-(2c+1)} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$k=\boldsymbol{-\dfrac{2c+1}{2}}$,$m=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}e^{-(2c+1)}}$\\ \vspace*{1zw} (2) $k \LEQQ x \LEQQ -c$ において,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$f(x)$ は単調増加で,$f(k)<0$,$f(-c)=0$ より $f(x) \LEQQ 0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{split} T&=\displaystyle \int_k^{-c}f(x)dx\\\\ &=-\displaystyle \int_k^{-c}\left\{(x+c)e^{2x}\right\}dx\\\\ &=-\left\{\Big[\dfrac{1}{2}(x+c)e^{2x}\Big]_k^{-c}-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_k^{-c}e^{2x}dx\right\}\\\\ &=-\dfrac{1}{2}\left\{-(k+c)e^{2k}\right\}+\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{1}{2}e^{2x}\Big]_k^{-c}\\\\ &=\dfrac{1}{2}(k+c)e^{2k}+\dfrac{1}{4}(e^{-2c}-e^{2k})\\\\ &=\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{2c+1}{2}+c\Big)e^{-(2c+1)}+\dfrac{1}{4}\left\{e^{-2c}-e^{-(2c+1)}\right\}\\\\ &=-\dfrac{1}{4}e^{-(2c+1)}+\dfrac{1}{4}e^{-(2c+1)}(e-1)\\\\ &=\boldsymbol{-\dfrac{1}{4}(e-2)e^{-(2c+1)}} \end{split} \end{equation*} \vspace*{1zw} (3) $-c \LEQQ x \LEQQ 0$ において,\\ \vspace*{-0.5zw} \hspace*{1zw}$f(x)$ は単調増加で,$f(-c)=0$ より $f(x) \GEQQ 0$ なので \begin{equation*} \begin{split} S&=\displaystyle \int _{-c}^0 f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{-c}^0 \left\{(x+c)e^{2x}\right\}dx\\ &=\Big[\dfrac{1}{2}(x+c)e^{2x}\Big]_{-c}^0-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{-c}^0e^{2x}dx\\ &=\dfrac{1}{2}c-\dfrac{1}{2}\Big[\dfrac{1}{2}e^{2x}\Big]_{-c}^0\\ &=\dfrac{1}{2}c-\dfrac{1}{4}(1-e^{-2c}) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}いま,$S=\dfrac{e}{2-e}T$ を満たす $c$ の値を求めるので, \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{1}{2}c-\dfrac{1}{4}(1-e^{-2c})&=\dfrac{e}{2-e}\left\{-\dfrac{1}{4}(e-2)e^{-(2c+1)}\right\}\\ \dfrac{1}{2}c-\dfrac{1}{4}(1-e^{-2c})&=\dfrac{1}{4}e^{-2c}\\ \dfrac{1}{2}c-\dfrac{1}{4}&=0\\ \therefore \hspace*{1zw}c&=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}