東京農工大学 前期 2011年度 問1

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 東京農工大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問1
学部 農学部 ・ 工学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}座標平面上に放物線 $y=x^2-2x+3$ と点A$(2, \hspace*{0.5zw}t)\hspace*{0.5zw}(t<3)$ がある。この放物線に点Aから引いた2本の接線の接点をそれぞれP,Qとする。ただし,$x$ 座標の大きな方をPとする。また,2点P,Qを通る直線と $y$ 軸との交点をRとする。このとき,次の問いに答えよ。\\ \vspace*{1zw} (1) 点Pの $x$ 座標を $t$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) 点Rの $y$ 座標を $t$ の式で表せ。\\ \vspace*{0.5zw} (3) ベクトル$\overrightarrow{\textrm{AP}}$ と $\overrightarrow{\textrm{AQ}}$ が垂直になるような $t$ の値を $t_0$ とする。$t_0$ を求めよ。ただし答えのみで\hspace*{1zw}よい。\\ \vspace*{0.5zw} (4) $t=t_0$ のときのA,P,Q,Rについて,$\overrightarrow{\textrm{AR}}=\alpha\overrightarrow{\textrm{AP}}+\beta\overrightarrow{\textrm{AQ}}$ と表す。$\alpha$,$\beta$ の値を求めよ。ただ\hspace*{1zw}し,$\alpha$,$\beta$ は実数とする。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) 接点の座標を $(p,\hspace*{0.5zw}p^2-2p+3)$ とおく.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$y=x^2-2x+3$ を微分すると,$y'=2x-2$ なので,接線の方程式は \begin{equation*} \begin{split} y&=(2p-2)(x-p)+p^2-2p+3\\ &=(2p-2)x-p(2p-2)+p^2-2p+3\\ &=(2p-2)x-p^2+3 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これが点Aを通るので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$2(2p-2)-p^2+3=t$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$-p^2+4p-1=t$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$p^2-4p+t+1=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}p=2\pm\sqrt{3-t}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}いま,2接点P,Qのうち,$x$ 座標の大きな方がPなので,求める点Pの $x$ 座標は\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$x=\boldsymbol{2+\sqrt{3-t}}$\\ \vspace*{1zw} (2) (1) より,点Pの $y$ 座標は \begin{equation*} \begin{split} y&=p^2-2p+3\\ &=(2+\sqrt{3-t})^2-2(2+\sqrt{3-t})+3\\ &=6-t+2\sqrt{3-t} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}同様に,点Qの $y$ 座標は\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$y=6-t-2\sqrt{3-t}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,直線PQの方程式は \begin{equation*} \begin{split} y&=\dfrac{4\sqrt{3-t}}{2\sqrt{3-t}}(x-2-\sqrt{3-t})+6-t+2\sqrt{3-t}\\ &=2(x-2-\sqrt{3-t})+6-t+2\sqrt{3-t}\\ &=2x+2-t \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これより,点Rの $y$ 座標は\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$y=\boldsymbol{2-t}$\\ \vspace*{1zw} (3) (1),(2)より,P$(2+\sqrt{3-t}, \hspace*{0.5zw} 6-t+2\sqrt{3-t})$,Q$(2-\sqrt{3-t},\hspace*{0.5zw} 6-t-2\sqrt{3-t})$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AP}}&=\overrightarrow{\textrm{OP}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(\sqrt{3-t}, \hspace*{0.5zw} 6-2t+2\sqrt{3-t}) \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AQ}}&=\overrightarrow{\textrm{OQ}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(-\sqrt{3-t}, \hspace*{0.5zw} 6-2t-2\sqrt{3-t}) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\textrm{AP}}\perp\overrightarrow{\textrm{AQ}}$ のとき,$\overrightarrow{\textrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AQ}}=0$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AQ}}&=-(3-t)+(6-2t)^2-4(3-t)\\ &=-3+t+4(t-3)^2-12+4t\\ &=4(t^2-6t+9)+5t-15\\ &=4t^2-19t+21\\ &=(t-3)(4t-7)\\ &=0 \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$t<3$ より $t=\dfrac{7}{4}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}t_0=\boldsymbol{\dfrac{7}{4}}$\\ \vspace*{1zw} (4) (2) より R$(0, \hspace*{0.5zw} 2-t)$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AR}}&=\overrightarrow{\textrm{OR}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(-2,\hspace*{0.5zw}2-2t) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}いま,$t=t_0$ のときを考えるので,$\overrightarrow{\textrm{AR}}=\alpha\overrightarrow{\textrm{AP}}+\beta\overrightarrow{\textrm{AQ}}$ より\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(-2, \hspace*{0.5zw }2-2t_0)=\alpha(\sqrt{3-t_0}, \hspace*{0.5zw}6-2t_0+2\sqrt{3-t_0})+\beta(-\sqrt{3-t_0}, \hspace*{0.5zw} 6-2t_0-2\sqrt{3-t_0})$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(3) より,$t_0=\dfrac{7}{4}$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\Big(-2, \hspace*{0.5zw} -\dfrac{3}{2}\Big)=\alpha\Big(\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \hspace*{0.5zw} \dfrac{5}{2}+\sqrt{5}\Big)+\beta\Big(-\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \hspace*{0.5zw} \dfrac{5}{2}-\sqrt{5}\Big)$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\sqrt{5}}{2}\alpha-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\beta=-2 \\\\ \Big(\dfrac{5}{2}+\sqrt{5}\Big)\alpha+\Big(\dfrac{5}{2}-\sqrt{5}\Big)\beta=-\dfrac{3}{2} \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}つまり, \begin{equation*} \begin{cases} \sqrt{5}\alpha-\sqrt{5}\beta=-4\hspace*{1zw}\cdots\cdots\MARU{1}\\ (5+2\sqrt{5})\alpha+(5-2\sqrt{5})\beta=-3\hspace*{1zw}\cdots\cdots\MARU{2} \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\MARU{1}\times(2+\sqrt{5})-\MARU{2}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$-10\beta=-5-4\sqrt{5}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}\beta=\dfrac{5+4\sqrt{5}}{10}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\MARU{1}\times(2-\sqrt{5})-\MARU{2}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$-10\alpha=-5+4\sqrt{5}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}\alpha=\dfrac{5-4\sqrt{5}}{10}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}故に,求める $\alpha$,$\beta$ の値は\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\alpha=\boldsymbol{\dfrac{5-4\sqrt{5}}{10}}$,$\beta=\boldsymbol{\dfrac{5+4\sqrt{5}}{10}}$ \end{flushleft} \end{document}