首都大学東京 理系<前> 2011年度 問5

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 理系<前>
年度 2011年度
問No 問5
学部 都市教養学部<理> ・ 都市環境学部 ・ システムデザイン学部 ・ 健康福祉学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
[式:…]は、-44ではないですか?
yy さん 2011/08/12 00:24:54 報告
\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}2つの数列 $\left\{a_n\right\}$,$\left\{b_n\right\}$ が次の漸化式で与えられているとする。 \begin{equation*} \begin{cases} a_1=4,\hspace*{0.5zw}b_1=3\\ a_{n+1}=4a_n-3b_n\hspace*{1zw}(n=1, 2, 3, \cdots)\\ b_{n+1}=3a_n+4b_n\hspace*{1zw}(n=1, 2, 3, \cdots) \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}このとき,以下の問いに答えなさい。\\ \vspace*{1zw} (1) $a_2$,$a_3$,$a_4$,$b_2$,$b_3$,$b_4$ を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $a_{n+4}-a_n\hspace*{0.5zw}(n=1, 2, 3, \cdots)$,$b_{n+4}-b_n\hspace*{0.5zw}(n=1, 2, 3, \cdots)$ はともに5の倍数であることを証明し\hspace*{1zw}なさい。\\ \vspace*{0.5zw} (3) $a_n\hspace*{0.5zw}(n=1, 2, 3, \cdots)$ も $b_n\hspace*{0.5zw}(n=1, 2, 3, \cdots)$ も5の倍数ではないことを証明しなさい。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) 漸化式より, \begin{equation*} \begin{split} a_2&=4a_1-3b_1\\ &=\boldsymbol{7} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_2&=3a_1+4b_1\\ &=\boldsymbol{24} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} a_3&=4a_2-3b_2\\ &=\boldsymbol{-34} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_3&=3a_2+4b_2\\ &=\boldsymbol{117} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} a_4&=4a_3-3b_3\\ &=\boldsymbol{-487} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_4&=3a_3+4b_3\\ &=\boldsymbol{366} \end{split} \end{equation*} (2) $a_{n+4}-a_n$,$b_{n+4}-b_n$ がともに5の倍数であることを数学的帰納法により示す.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(i) $n=1$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} a_5-a_1&=(4a_4-3b_4)-a_1\\ &=3050 \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_5-b_1&=(3a_4+4b_4)-b_1\\ &=0 \end{split} \end{equation*} \hspace*{2zw}より,ともに5の倍数であることが示された.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(ii) $n=k\hspace*{0.5zw}(k=1, 2, 3, \cdots)$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}$a_{k+4}-a_k$,$b_{k+4}-b_k$ がともに5の倍数であると仮定して,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2.8zw}$n=k+1$ のとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}$a_{k+5}-a_{k+1}$,$b_{k+5}-b_{k+1}$ がともに5の倍数であることを示す.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}帰納法の仮定より,$a_{k+4}-a_k=5p$,$b_{k+4}-b_k=5q$\hspace*{0.5zw}$(p, q は整数)$ とおけるので, \begin{equation*} \begin{split} a_{k+5}-a_{k+1}&=4a_{k+4}-3b_{k+4}-(4a_k-3b_k)\\ &=4(a_{k+4}-a_k)-3(b_{k+4}-b_k)\\ &=4\cdot5p-3\cdot5q\\ &=5(4p-3q) \end{split} \end{equation*} \hspace*{2zw}となり,$a_{k+5}-a_{k+1}$ が5の倍数であることが示された. \begin{equation*} \begin{split} b_{k+5}-b_{k+1}&=3a_{k+4}+4b_{k+4}-(3a_k+4b_k)\\ &=3(a_{k+4}-a_k)+4(b_{k+4}-b_k)\\ &=3\cdot5p+4\cdot5q\\ &=5(3p+4q) \end{split} \end{equation*} \hspace*{2zw}となり,$b_{k+5}-b_{k+1}$ が5の倍数であることが示された.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}従って,$n=k+1$ のときも示された.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(iii) 以上より,すべての自然数 $n$ に対して,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}$\boldsymbol{a_{k+4}-a_n,b_{n+4}-b_n はともに5の倍数であることが示された.}$\\ \vspace*{1zw} (3) (1) より,$a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4$ はいずれも5の倍数でない.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}また,$a_{4k-3},a_{4k-2},a_{4k-1},a_{4k},b_{4k-3},b_{4k-2},b_{4k-1},b_{4k}\hspace*{0.5zw}(k は自然数)$ が5の倍数でないとすると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}(2) より,$a_{n+4}=5p+a_n$,$b_{n+4}=5q+b_n$ と表せるので,これより,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}$a_{4k+1},a_{4k+2},a_{4k+3},a_{4(k+1)},b_{4k+1},b_{4k+2},b_{4k+3},b_{4(k+1)}$ も5の倍数でない.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{2zw}従って,帰納的に $\boldsymbol{a_n,b_n が5の倍数でないことが示された.}$ \end{flushleft} \end{document}