北里大学 医学部 2011年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 北里大学
学科・方式 医学部
年度 2011年度
問No 問2
学部 医学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$k$ は $k \neq 1$ を満たす実数とし,行列 $A$,$E$ を\\ \vspace*{1zw} \hspace*{5zw}$A=\begin{pmatrix} 3k+1 & 2-5k \\ k-9 & 2k+4 \end{pmatrix}$,$E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$\\ \vspace*{0.5zw} とする。$A$ が逆行列をもたないとき,以下の問に答えよ。\\ \vspace*{0.5zw} (1) $k$ の値を求めよ。\\ (2) $(E+A)^2=E+a_2A$ を満たす実数 $a_2$ を求めよ。\\ (3) $n$ は自然数とする。$(E+A)^n$ を実数 $a_n$ を用いて $(E+A)^n=E+a_nA$ と表わすとき,$a_{n+1}$ を \hspace*{1zw}$a_n$ を用いて表わせ。また,$a_n$ を $n$ を用いて表わせ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $A$ が逆行列をもたないので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(3k+1)(2k+4)-(2-5k)(k-9)=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$6k^2+14k+4-(-5k^2+47k-18)=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$11k^2-33k+22=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$11(k^2-3k+2)=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(k-1)(k-2)=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$k \neq 1$ なので,求める $k$ の値は $k=\boldsymbol{2}$\\ \vspace*{1zw} (2) (1) より $A=\begin{pmatrix}7 & -8 \\ -7 & 8 \end{pmatrix}$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}ハミルトン・ケーリーの定理より $A^2-15A=O$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより, \begin{equation*} \begin{split} (E+A)^2&=E+2A+A^2\\ &=E+2A+15A\\ &=E+17A \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,求める $a_2$ の値は,$a_2=\boldsymbol{17}$\\ \vspace*{1zw} (3) $(E+A)^n=E+a_nA$ において,$E+A$ を左からかけると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(E+A)(E+A)^n=(E+A)(E+a_nA)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(E+A)^{n+1}=E+(a_n+1)A+a_nA^2$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}いま,$A^2=15A$,$(E+A)^{n+1}=E+a_{n+1}A$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$E+a_{n+1}A=E+(a_n+1)A+a_n \cdot 15A$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$E+a_{n+1}A=E+(16a_n+1)A$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}(a_{n+1}-16a_n-1)A=O$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これは,$E+A$ を右からかけても得られる.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$A \neq O$ なので,$a_{n+1}$ を $a_n$ で表すと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$a_{n+1}=\boldsymbol{16a_n+1}\hspace*{1zw}\cdots \cdots \MARU{1}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また,$a_1=1$ なので,$\MARU{1}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$a_{n+1}+\dfrac{1}{15}=16\Big(a_n+\dfrac{1}{15}\Big)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより,数列 $\left\{a_n+\dfrac{1}{15}\right\}$ は,初項 : $a_1+\dfrac{1}{15}=\dfrac{16}{15}$,公比 : $16$ の等比数列なので,\\ \vspace*{1zw} \hspace*{3zw}$a_n+\dfrac{1}{15}=\dfrac{16}{15}\cdot16^{n-1}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}故に,$a_n$ を $n$ で表すと,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$a_n=\boldsymbol{\dfrac{1}{15}(16^n-1)}$ \end{flushleft} \end{document}