北里大学 医学部 2011年度 問1

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 北里大学
学科・方式 医学部
年度 2011年度
問No 問1
学部 医学部
カテゴリ 順列と組み合わせ ・ ベクトル ・ 微分法の応用 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}つぎの $\f{\textcolor{white}{\hspace*{1zw}あ\hspace*{1zw}}}$ にあてはまる答を下の解答欄に記せ。\\ \vspace*{1zw} (1) 関数 $y=\dfrac{2e^x-1}{e^x+1}\hspace*{0.3zw}\cdots\MARU{1}$ の導関数は $y'=\f{\hspace*{1zw}(ア)\hspace*{1zw}}$,$\MARU{1}$ のグラフの変曲点の座標は $\f{\hspace*{1zw}(イ)\hspace*{1zw}}$,\hspace*{1zw}$\MARU{1}$の値域を不等式で表わすと $\f{\hspace*{1zw}(ウ)\hspace*{1zw}}$ である。また,この関数 $\MARU{1}$ の逆関数は $y=\f{\hspace*{1zw}(エ)\hspace*{1zw}}$ で\hspace*{1zw}ある。\\ \vspace*{1zw} (2) $n$ が $4 \LEQQ n \LEQQ 9$ を満たす自然数のとき,4個の数字1, 2, 3, $n$ を用いて4桁の整数をつくる。\\ \hspace*{0.7zw}(i) $n=5$ のとき,3000 より小さい数は全部で $\f{\hspace*{1zw}(オ)\hspace*{1zw}}$ 個できる。\\ \hspace*{0.5zw}(ii) 1つの $n$ に対して,1, 2, 3, $n$ からつくられる4桁の整数のうち,2000より小さい数の総和を \hspace*{1zw}$S_n$ とするとき,$S_n$ を $n$ を用いて表わすと,$S_n=\f{\hspace*{1zw}(カ)\hspace*{1zw}}$ である。$S_n=8442$ となるときの $n$ \hspace*{1zw}$の値は \f{\hspace*{1zw}(キ)\hspace*{1zw}}$ である。\\ \vspace*{1zw} (3) 平面上に2点O(0, 0),A(1, 2) があり,点Pは曲線 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 上の点である。\\ \hspace*{0.9zw}(i) 2つのベクトル $\overrightarrow{\textrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\textrm{AP}}$ が直交するとき,点Pの座標は $\f{\hspace*{1zw}(ク)\hspace*{1zw}}$ である。\\ \hspace*{0.7zw}(ii) 内積 $t=\overrightarrow{\textrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OP}}$ のとり得る値の範囲を不等式で表わすと $\f{\hspace*{1zw}(ケ)\hspace*{1zw}}$ である。\\ \hspace*{0.5zw}(iii) 3点O,A,Pが一直線上にないとき,三角形OAPの面積の最大値は $\f{\hspace*{1zw}(コ)\hspace*{1zw}}$ である。\\ \vspace*{1zw} (4) 等式 $\dfrac{1}{(x-1)^2(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+2}$ が $x$ についての恒等式であるとき,定数 $A$,\hspace*{1zw}$B$,$C$ の値は $A=\f{\hspace*{1zw}(サ)\hspace*{1zw}}$,$B=\f{\hspace*{1zw}(シ)\hspace*{1zw}}$,$C=\f{\hspace*{1zw}(ス)\hspace*{1zw}}$ であり,定積分 $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{dx}{(x-1)^2(x+2)}$ \hspace*{1zw}の値は$\f{\hspace*{1zw}(セ)\hspace*{1zw}}$ である。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $\MARU{1}$ より \begin{equation*} \begin{split} y&=\dfrac{2(e^x+1)-3}{e^x+1}\\ &=2-\dfrac{3}{e^x+1}\hspace*{1zw}より \end{split} \end{equation*} \hspace*{3zw}$y'=\boldsymbol{\dfrac{3e^x}{(e^x+1)^2}}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}次に,変曲点の座標について \begin{equation*} \begin{split} y''&=\dfrac{3e^x(e^x+1)^2-3e^x\cdot2(e^x+1)\cdot e^x}{(e^x+1)^4}\\ &=\dfrac{3e^x(e^x+1)\left\{(e^x+1)-2e^x\right\}}{(e^x+1)^4}\\ &=\dfrac{-3e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$y''=0$ とすると,$e^x>0$ なので,\\ \hspace*{3zw}$e^x-1=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}x=0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また,$x>0$ のとき $y''<0$ で,$x<0$ のとき $y''>0$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$x=0$ は変曲点の $x$ 座標となり,このとき,$\MARU{1}$ より $y=\dfrac{1}{2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,変曲点の座標は,$\boldsymbol{\Big(0, \dfrac{1}{2}\Big)}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}更に,$\MARU{1}$ の値域について,$y'>0$ がいえるので,$\MARU{1}$ は単調増加.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}また, \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2e^x-1}{e^x+1}&=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{e^x}}{1+\dfrac{1}{e^x}}\\ &=2 \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{2e^x-1}{e^x+1}&=-1\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}求める値域は,$\boldsymbol{-1<y<2}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}最後に,$\MARU{1}$ の逆関数について,$\MARU{1}$ を $e^x$ について解くと, \begin{equation*} \begin{split} y(e^x+1)&=2e^x-1\\ (y-2)e^x&=-(y+1) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$-1<y<2$ より \begin{equation*} \begin{split} e^x&=\dfrac{1+y}{2-y}\\ \therefore \hspace*{1zw}x&=\log{\dfrac{1+y}{2-y}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}故に,求める逆関数は,$x$,$y$ を入れかえて,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$y=\boldsymbol{\log{\dfrac{1+x}{2-x}}}$ \vspace*{2zw} (2)\\ (i) $n=5$ のとき,3000より小さい数は千の位が1または2のときで,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}それぞれ $3!=6$(個)あるので,求める場合の数は\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$6 \times 2=\boldsymbol{12}$ (個)\\ \vspace*{0.5zw} (ii) 2000より小さい数は千の位が1のときで,下3桁における各位の数は\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}2, 3, $n$ がそれぞれ $\dfrac{3!}{2}=2$(個)ずつあるので,求める総和 $S_n$ は \begin{equation*} \begin{split} S_n&=(2+3+n)\times 2+(20+30+10n)\times 2+(200+300+100n) \times 2+1000 \times 6\\ &=6000+2(n+5)\cdot(1+10+100)\\ &=6000+222(n+5)\\ &=\boldsymbol{222n+7110} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}また,$S_n=8442$ となるとき,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$222n+7110=8442$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$222n=1332$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore \hspace*{1zw}n=\boldsymbol{6}$ \vspace*{2zw} (3)\\ (i) P$(3\cos{\theta}, 2\sin{\theta})\hspace*{0.5zw}(0 \LEQQ \theta <2\pi)$ とおくと, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AP}}&=\overrightarrow{\textrm{OP}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(3\cos{\theta}-1, 2\sin{\theta}-2)\hspace*{1zw}で, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\overrightarrow{\textrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\textrm{AP}}$ が直交するとき,$\overrightarrow{\textrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AP}}=0$ なので, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\textrm{AP}}&=3\cos{\theta}-1+2(2\sin{\theta}-2)\\ &=4\sin{\theta}+3\cos{\theta}-5\\ &=5\sin{(\theta+\alpha)}-5\hspace*{1zw}\Big(\cos{\alpha}=\dfrac{4}{5}, \sin{\alpha}=\dfrac{3}{5}\Big)\\ &=0\hspace*{1zw}より \end{split} \end{equation*} \hspace*{3zw}$\sin{(\theta+\alpha)}=1$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$0 \LEQQ \theta<2\pi$ より $\alpha \LEQQ \theta+\alpha <2\pi+\alpha$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\theta+\alpha=\dfrac{\pi}{2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}\theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}このとき, \begin{equation*} \begin{split} 3\cos{\theta}&=3\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)}\\ &=3\sin{\alpha}\\ &=\dfrac{9}{5} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} 2\sin{\theta}&=2\sin{\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)}\\ &=2\cos{\alpha}\\ &=\dfrac{8}{5} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って,点Pの座標は,P$\boldsymbol{\Big(\dfrac{9}{5}, \dfrac{8}{5}\Big)}$\\ \vspace*{0.5zw} (ii) $\overrightarrow{\textrm{OA}}=(1, 2)$,$\overrightarrow{\textrm{OP}}=(3\cos{\theta}, 2\sin{\theta})$ より \begin{equation*} \begin{split} t&=\overrightarrow{\textrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\textrm{OP}}\\ &=3\cos{\theta}+4\sin{\theta}\\ &=5\sin{(\theta+\alpha)}\hspace*{1zw}で, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$-1 \LEQQ \sin{(\theta+\alpha)} \LEQQ 1$ なので,求める内積 $t$ のとり得る値の範囲は,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\boldsymbol{-5 \LEQQ t \LEQQ 5}$\\ \vspace*{0.5zw} (iii) $\triangle \textrm{OAP}$ の面積を $S$ とおくと, \begin{equation*} \begin{split} S&=\dfrac{1}{2}|2\sin{\theta}-6\cos{\theta}|\\ &=|\sin{\theta}-3\cos{\theta}|\\ &=|\sqrt{10}\sin{(\theta-\beta)}|\hspace*{1zw}\Big(\cos{\beta}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}, \sin{\beta}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\Big) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$0 \LEQQ \theta < 2\pi$ より $-\beta \LEQQ \theta-\beta<2\pi-\beta$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$-1 \LEQQ \sin{(\theta-\beta)} \LEQQ 1$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}0 \LEQQ S \LEQQ \sqrt{10}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}故に,求める最大値は,$\sin{(\theta-\beta)}=1$ のとき,$\boldsymbol{\sqrt{10}}$\\ \vspace*{2zw} (4) \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{1}{(x-1)^2(x+2)}&=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+2}\\ &=\dfrac{A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)}\\ &=\dfrac{A(x^2+x-2)+B(x+2)+C(x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x+2)}\\ &=\dfrac{(A+C)x^2+(A+B-2C)x-2A+2B+C}{(x-1)^2(x+2)} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}これが $x$ についての恒等式なので, \begin{equation*} \begin{cases} A+C=0\hspace*{1zw}\cdots\cdots\MARU{1}\\ A+B-2C=0\hspace*{1zw}\cdots\cdots\MARU{2}\\ -2A+2B+C=1\hspace*{1zw}\cdots\cdots\MARU{3} \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\MARU{1}$ より $C=-A$ なので,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\MARU{2}$ より $A+B+2A=0$ つまり $B=-3A$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\MARU{3}$ より $-2A-6A-A=1$ つまり $A=-\dfrac{1}{9}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}このとき,$B=\dfrac{1}{3}$,$C=\dfrac{1}{9}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}従って,$A=\boldsymbol{-\dfrac{1}{9}}$,$B=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$,$C=\boldsymbol{\dfrac{1}{9}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより, \begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \int_2^4 \dfrac{dx}{(x-1)^2(x+2)}&=\dfrac{1}{9}\displaystyle \int_2^4\left\{-\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^2}+\dfrac{1}{x+2}\right\}dx\\ &=\dfrac{1}{9}\Big[-\log{(x-1)-\dfrac{3}{x-1}+\log{(x+2)}}\Big]_2^4\\ &=\dfrac{1}{9}\Big[\log{\dfrac{x+2}{x-1}}-\dfrac{3}{x-1}\Big]_2^4\\ &=\dfrac{1}{9}\left\{(\log{2}-1)-(\log{4}-3)\right\}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{9}(2-\log{2})} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}