金沢大学 前期 2011年度 問3

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 金沢大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 教育学部 ・ 法学部 ・ 経済学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}次の問いに答えよ。\\ \vspace*{0.5zw} (1) $x \GEQQ 0$ のとき,不等式 $1-\cos{\dfrac{x}{2}} \LEQQ \dfrac{x^2}{8}$ を示せ。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $I_n=\displaystyle \int_0^2x^ne^xdx$\hspace*{0.5zw}$(n=1, 2, 3, \cdots)$ とおく。$I_1$ の値を求めよ。\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1.6zw}さらに,等式 $I_n=2^ne^2-nI_{n-1}$\hspace*{0.5zw}$(n=2, 3, 4, \cdots)$ を示せ。\\ \vspace*{0.5zw} (3) $I_2, I_3, I_4$ および $I_5$ の値を求めよ。\\ \vspace*{0.5zw} (4) 不等式 $\displaystyle \int_0^4\Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)e^{\sqrt{x}}dx \LEQQ -2e^2+30$ を示せ。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) $f(x)=\dfrac{x^2}{8}-\Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)\hspace*{1zw}(x \GEQQ 0)$ とおいて,$f(x)\GEQQ0$ を示す. \begin{equation*} \begin{split} f'(x)=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}\sin{\dfrac{x}{2}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} f''(x)&=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\cos{\dfrac{x}{2}}\\ &=\dfrac{1}{4}\Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)\hspace*{1zw}(\GEQQ 0)\hspace*{1zw}より \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$f'(x)$ は単調増加で,$f'(0)=0$ より $f'(x) \GEQQ 0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}よって,$f(x)$ は単調増加で,$f(0)=0$ より $f(x) \GEQQ 0$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,$\boldsymbol{与式は示された.}$\\ \vspace*{1zw} (2) $I_n=\displaystyle \int_0^2 x^ne^xdx$ において,$n=1$ とすると, \begin{equation*} \begin{split} I_1&=\displaystyle \int_0^2 xe^xdx\\ &=\Big[xe^x\Big]_0^2-\displaystyle \int_0^2e^xdx\\ &=2e^2-\Big[e^x\Big]_0^2\\ &=2e^2-(e^2-1)\\ &=\boldsymbol{e^2+1} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}次に, \begin{equation*} \begin{split} I_n&=\Big[x^ne^x\Big]_0^2-\displaystyle \int_0^2nx^{n-1}e^xdx\\ &=2^ne^2-n\displaystyle \int_0^2x^{n-1}e^xdx\\ &=2^ne^2-nI_{n-1}\hspace*{1zw}となり,\boldsymbol{与式は示された.} \end{split} \end{equation*} \vspace*{1zw} (3) (2) より, \begin{equation*} \begin{split} I_2&=4e^2-2I_1\\ &=4e^2-2(e^2+1)\\ &=\boldsymbol{2e^2-2} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} I_3&=8e^2-3I_2\\ &=8e^2-3(2e^2-2)\\ &=\boldsymbol{2e^2+6} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} I_4&=16e^2-4I_3\\ &=16e^2-4(2e^2+6)\\ &=\boldsymbol{8e^2-24} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} I_5&=32e^2-5I_4\\ &=32e^2-5(8e^2-24)\\ &=\boldsymbol{-8e^2+120} \end{split} \end{equation*} \vspace*{1zw} (4) (1) の不等式において,両辺に $e^{\sqrt{x}}\hspace*{0.5zw}(>0)$ をかけると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)e^{\sqrt{x}} \LEQQ \dfrac{1}{8}x^2e^{\sqrt{x}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}両辺を $0 \LEQQ x \LEQQ 4$ で積分すると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\displaystyle \int_0^4 \Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)e^{\sqrt{x}}dx \LEQQ \dfrac{1}{8} \displaystyle \int _0^4 x^2e^{\sqrt{x}}dx$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}ここで,$\displaystyle \int _0^4 x^2e^{\sqrt{x}}dx$ において,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$\sqrt{x}=t\hspace*{0.3zw}(\GEQQ0)$ とおくと,$x=t^2$ より $dx=2tdt$ で,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$x:0 \to 4$ のとき $t:0 \to 2$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}よって,$\displaystyle \int _0^4 x^2e^{\sqrt{x}}dx$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{6zw}$=\displaystyle \int_0^2 t^4e^t\cdot2tdt$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{6zw}$=2\displaystyle \int_0^2 t^5e^tdt$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{6zw}$=2I_5$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{6zw}$=8(-2e^2+30)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,$\displaystyle \int_0^4 \Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)e^{\sqrt{x}}dx \LEQQ \dfrac{1}{8}\cdot8(-2e^2+30)$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}つまり,$\displaystyle \int_0^4 \Big(1-\cos{\dfrac{x}{2}}\Big)e^{\sqrt{x}}dx \LEQQ -2e^2+30$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}故に,$\boldsymbol{与式は示された.}$ \end{flushleft} \end{document}