首都大学東京 理系<前> 2011年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 理系<前>
年度 2011年度
問No 問2
学部 都市教養学部<理> ・ 都市環境学部 ・ システムデザイン学部 ・ 健康福祉学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}座標空間の3点A$(1, 2, 2)$,B$(2, 1, 1)$,C$(2, 4, 2)$ を通る平面を $\alpha$ とする。点D$(0, 2, 1)$ を通り,ベクトル$\overrightarrow{a}=(1, 1, 1)$ に平行な直線を $l_1$ とする。また点Dを通り,ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1, -1, 1)$ に平行な直線を $l_2$ とする。このとき,以下の問いに答えなさい。\\ \vspace*{1zw} (1) $l_1$ と $\alpha$ の交点をEとし,$l_2$ と $\alpha$ の交点をFとする。E,Fの座標を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (2) $\overrightarrow{\textrm{DE}}$ と $\overrightarrow{\textrm{DF}}$ のなす角を $\theta \hspace*{0.2zw} (0 \LEQQ \theta \LEQQ \pi)$ とおくとき,$\cos{\theta}$ の値を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (3) $\triangle \textrm{DEF}$ の面積を求めなさい。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) 平面 $\alpha$ 上の点を P$(x, y, z)$ とおくと,実数 $k, l$ に対して,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\overrightarrow{\textrm{AP}}=k\overrightarrow{\textrm{AB}}+l\overrightarrow{\textrm{AC}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$(x-1, y-2, z-2)=k(1, -1, -1)+l(1, 2, 0)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=(k+l, -k+2l, -k)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\therefore\hspace*{1zw}(x, y, z)=(k+l+1, -k+2l+2, -k+2)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$l_1$ の方程式は,$s$ を実数として,\\ \hspace*{3zw}$(x, y, z)=(0, 2, 1)+s(1, 1, 1)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=(s, s+2, s+1)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,点Eの座標は,平面 $\alpha$ と直線 $l_1$ との交点なので, \begin{equation*} \begin{cases} k+l+1=s\\ -k+2l+2=s+2\\ -k+2=s+1 \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}これを解いて,$k=-\dfrac{1}{4}$,$l=\dfrac{1}{2}$,$s=\dfrac{5}{4}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}よって,E$\boldsymbol{\Big(\dfrac{5}{4},\hspace*{0.5zw} \dfrac{13}{4},\hspace*{0.5zw} \dfrac{9}{4}\Big)}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$l_2$ の方程式は,$t$ を実数として,\\ \hspace*{3zw}$(x, y, z)=(0, 2, 1)+t(-1, -1, 1)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=(-t, -t+2, t+1)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,点Fの座標は,平面 $\alpha$ と直線 $l_2$ との交点なので, \begin{equation*} \begin{cases} k+l+1=-t\\ -k+2l+2=-t+2\\ -k+2=t+1 \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}これを解いて,$k=-\dfrac{3}{2}$,$l=-2$,$t=\dfrac{5}{2}$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}よって,F$\boldsymbol{\Big(-\dfrac{5}{2},\hspace*{0.5zw} -\dfrac{1}{2},\hspace*{0.5zw} \dfrac{7}{2}\Big)}$\\ \vspace*{1zw} (2) (1) より, \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{DE}}&=\overrightarrow{\textrm{OE}}-\overrightarrow{\textrm{OD}}\\ &=\Big(\dfrac{5}{4}, \dfrac{13}{4}, \dfrac{9}{4}\Big)-(0, 2, 1)\\ &=\Big(\dfrac{5}{4}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{5}{4}\Big) \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{DF}}&=\overrightarrow{\textrm{OF}}-\overrightarrow{\textrm{OD}}\\ &=\Big(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2}\Big)-(0, 2, 1)\\ &=\Big(-\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\Big) \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{DE}}&=\sqrt{\dfrac{25}{16}+\dfrac{25}{16}+\dfrac{25}{16}}\\ &=\dfrac{5\sqrt{3}}{4} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{DF}}&=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}\\ &=\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{DE}}\cdot\overrightarrow{\textrm{DF}}&=-\dfrac{25}{8}-\dfrac{25}{8}+\dfrac{25}{8}\\ &=-\dfrac{25}{8} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}よって,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\cos{\theta}=\dfrac{-\dfrac{25}{8}}{\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{5.5zw}$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$\\ \vspace*{1zw} (3) $\triangle \textrm{DEF}$ の面積は,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\textrm{DE}}|^2|\overrightarrow{\textrm{DF}}|^2-(\overrightarrow{\textrm{DE}}\cdot\overrightarrow{\textrm{DF}})^2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{75}{16}\cdot\dfrac{75}{4}-\Big(-\dfrac{25}{8}\Big)^2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\Big(\dfrac{75}{8}\Big)^2-\Big(\dfrac{25}{8}\Big)^2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\Big(\dfrac{75}{8}+\dfrac{25}{8}\Big)\cdot\Big(\dfrac{75}{8}-\dfrac{25}{8}\Big)}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{100}{8}\cdot\dfrac{50}{8}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{5}{2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\boldsymbol{\dfrac{25\sqrt{2}}{8}}$ \end{flushleft} \end{document}