首都大学東京 理系<前> 2011年度 問1

問題へ戻る

解答作成者: 門 直之

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 首都大学東京
学科・方式 理系<前>
年度 2011年度
問No 問1
学部 都市教養学部<理> ・ 都市環境学部 ・ システムデザイン学部 ・ 健康福祉学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

全件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
[式:…] です.
こた さん 2011/10/14 14:49:19 報告
\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{1zw}$f(x)=\log{x}-2x+1$\hspace*{0.5zw}$(x>0)$ とする。$a$ を正の定数とし,$t$ は $0<t<a$ をみたす実数とする。関数 $y=f(x)$ のグラフ上に3点 Q,A,Pを,それぞれの $x$ 座標が $a-t$,$a$,$a+t$ となるようにとる。以下の問いに答えなさい。\\ \vspace*{1zw} (1) $f(x)$ の増減を調べ,$y=f(x)$ のグラフをかきなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (2) 点Rが $\overrightarrow{\textrm{AP}}+\overrightarrow{\textrm{AQ}}=\overrightarrow{\textrm{AR}}$ を満たすとき,$\overrightarrow{\textrm{AR}}$ を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (3) 四角形APRQの面積 $S(t)$ を求めなさい。\\ \vspace*{0.5zw} (4) $\displaystyle \lim_{t \to +0}\dfrac{S(t)}{t^3}$ を求めなさい。 \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1) \begin{equation*} \begin{split} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-2\\ &=\dfrac{1-2x}{x} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$f'(x)=0$ とすると,$\dfrac{1-2x}{x}=0$ より $x=\dfrac{1}{2}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って,次の増減表を得る. \[ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots \\ f'(x) & \times & + & 0 & - \\ f(x) & \times & \nearrow & & \searrow \\ \end{array} \] \begin{equation*} \begin{split} f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)&=\log{\dfrac{1}{2}}-1+1\\ &=-2\log{2} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}また,$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$,$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}故に,グラフの概形は$\boldsymbol{下図}$.\\ \begin{figure}[!htb] \begin{flushleft} \includegraphics[width=25zw,clip]{11syutodaigakutokyo0101.eps} \end{flushleft} \end{figure}% \vspace*{1zw} (2) \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AP}}&=\overrightarrow{\textrm{OP}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(a+t, \log{(a+t)}-2(a+t)+1)-(a, \log{a}-2a+1)\\ &=(t, \log{(a+t)}-\log{a}-2t) \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AQ}}&=\overrightarrow{\textrm{OQ}}-\overrightarrow{\textrm{OA}}\\ &=(a-t, \log{(a-t)}-2(a-t)+1)-(a, \log{a}-2a+1)\\ &=(-t, \log{(a-t)}-\log{a}+2t)\hspace*{1zw}より, \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{\textrm{AR}}&=\overrightarrow{\textrm{AP}}+\overrightarrow{\textrm{AQ}}\\ &=(t, \log{(a+t)}-\log{a}-2t)+(-t, \log{(a-t)}-\log{a}+2t)\\ &=(0, \log{(a+t)}+\log{(a-t)}-2\log{a})\\ &=\Big(0, \log{\dfrac{(a+t)(a-t)}{a^2}}\Big)\\ &=\boldsymbol{\Big(0, \log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}\Big)} \end{split} \end{equation*}\\[-50mm] \begin{figure}[h] \hspace{80mm}\includegraphics[width=7cm,clip]{11syutodaigakutokyo0102.eps} \end{figure} (3) (2) より, \begin{equation*} \begin{split} \triangle \textrm{AQR}&=\dfrac{1}{2}\Big|-t\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}-0\Big|\\ &=\dfrac{1}{2}t\Big|\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}\Big|\hspace*{1zw}(\because \hspace*{0.5zw}t>0) \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \triangle \textrm{ARP}&=\dfrac{1}{2}\Big|t\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}-0\Big|\\ &=\dfrac{1}{2}t\Big|\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}\Big|\hspace*{1zw}(\because \hspace*{0.5zw}t>0) \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}となり,$\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}<0$ なので, \begin{equation*} \begin{split} S(t)&=\triangle \textrm{AQR}+\triangle \textrm{ARP}\\ &=t\Big|\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}\Big|\\ &=\boldsymbol{-t\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}} \end{split} \end{equation*} (4) (3) より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$\displaystyle \lim_{t \to +0} \dfrac{S(t)}{t^3}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\displaystyle \lim_{t \to +0} \dfrac{-t\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}}{t^3}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\displaystyle \lim_{t \to +0} \left\{\Big(-\dfrac{1}{t^2}\Big)\log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)} \right\}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\displaystyle \lim_{t \to +0} \log{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)}^{-\dfrac{1}{t^2}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\displaystyle \lim_{t \to +0} \log \left\{\Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)^{-\dfrac{a^2}{t^2}}\right\}^{\dfrac{1}{a^2}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$=\boldsymbol{\dfrac{1}{a^2}}\hspace*{1zw}\Bigg(\because\hspace*{0.5zw}\displaystyle \lim_{t \to +0} \Big(1-\dfrac{t^2}{a^2}\Big)^{-\dfrac{a^2}{t^2}}=e \Bigg)$ \end{flushleft} \end{document}