杏林大学 医学部 2011年度 問2

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 杏林大学
学科・方式 医学部
年度 2011年度
問No 問2
学部 医学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} (1) 1次変換 $f$,$g$ を表す行列を,それぞれ $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とする.\\ \vspace*{1zw} \hspace*{0.5zw}$A$,$B$ の逆行列 $A^{-1}$,$B^{-1}$ は,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$A^{-1}=\dfrac{1}{\hspace*{1zw}\f{\hspace*{1zw}ア\hspace*{1zw}}\hspace*{1zw}}\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}イ\hspace{1zw}} & \f{\hspace*{1zw}ウ\hspace*{1zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}エ\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{0.5zw}オカ\hspace*{0.5zw}} \end{pmatrix}$,$B^{-1}=\dfrac{1}{\hspace*{1zw}\f{\hspace*{1zw}キ\hspace*{1zw}}\hspace*{1zw}}\begin{pmatrix} \f{\hspace*{1zw}ク\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{0.5zw}ケコ\hspace*{0.5zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}サ\hspace*{1zw}} & \f{\hspace*{1zw}シ\hspace*{1zw}} \end{pmatrix}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}となる.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1.5zw}点 $(1, 1)$ は合成変換 $f \circ g$ によって点 $(\f{\hspace*{1zw}ス\hspace*{1zw}}, \f{\hspace*{1zw}セ\hspace*{1zw}})$ に移動する.また,合成変換$f^{-1} \circ g$ に\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}による点 $(1, \alpha)$ の像と,合成変換 $f \circ g^{-1}$ による点 $(\alpha, \beta)$ の像が一致するとき,$\alpha=\f{\hspace*{0.5zw}ソタ\hspace*{0.5zw}}$,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}$\beta=\f{\hspace*{1zw}チ\hspace*{1zw}}$ となる.ここで,$f^{-1}$,$g^{-1}$ はそれぞれ $f$,$g$ の逆変換を表す.\\ \vspace*{2zw} (2) $C=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ -1 & -\sqrt{3}\end{pmatrix}$ とすると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{4zw}$C^{8}\begin{pmatrix} 2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \f{\hspace*{0.5zw}ツテ\hspace*{0.5zw}} \\ \f{\hspace*{1zw}ト\hspace*{1zw}}\sqrt{\f{\hspace*{1zw}ナ\hspace*{1zw}}}\end{pmatrix}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}となる. \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} (1)\\ \hspace*{1zw}$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$ より,$A^{-1}=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}$ より,$B^{-1}=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}}$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$f \circ g$ の表現行列は, \begin{equation*} \begin{split} \textrm{AB}&=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 6 & -1\end{pmatrix}\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 6 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}点 $(1, 1)$ は,点 $\boldsymbol{(1, 5)}$ に移動する.\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}$f^{-1} \circ g$ の表現行列は, \begin{equation*} \begin{split} \textrm{A}^{-1}\textrm{B}&=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}0 & 4 \\ 4 & 0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}点 $(1, \alpha)$ の像は,点 $(\alpha, 1)$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}$f \circ g^{-1}$ の表現行列は, \begin{equation*} \begin{split} \textrm{AB}^{-1}&=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -2\end{pmatrix} \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5 & 3 \\ -3 & -5\end{pmatrix}\hspace*{1zw}なので, \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5 & 3 \\ -3 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5\alpha+3\beta \\ -3\alpha-5\beta\end{pmatrix}$ より,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}点 $(1, \alpha)$ の像は,点 $\Big(\dfrac{1}{4}(5\alpha+3\beta), -\dfrac{1}{4}(3\alpha+5\beta)\Big)$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{cases} \alpha=\dfrac{1}{4}(5\alpha+3\beta)\\ 1=-\dfrac{1}{4}(3\alpha+4\beta) \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}これを解いて,$\alpha=\boldsymbol{-3}$,$\beta=\boldsymbol{1}$\\ \vspace*{1zw} (2)\\ \begin{equation*} \begin{split} \textrm{C}&=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-\sqrt{3} & 1 \\ -1 & -\sqrt{3}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\cos{\dfrac{7}{6}\pi} & -\sin{\dfrac{7}{6}\pi} \\\\ \sin{\dfrac{7}{6}\pi} & \cos{\dfrac{7}{6}\pi}\end{pmatrix}\hspace*{1zw}より, \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} \textrm{C}^8&=\begin{pmatrix}\cos{\dfrac{7}{6}\pi} & -\sin{\dfrac{7}{6}\pi} \\\\ \sin{\dfrac{7}{6}\pi} & \cos{\dfrac{7}{6}\pi}\end{pmatrix}^8\\\\ &=\begin{pmatrix}\cos{\dfrac{28}{3}\pi} & -\sin{\dfrac{28}{3}\pi} \\\\ \sin{\dfrac{28}{3}\pi} & \cos{\dfrac{28}{3}\pi}\end{pmatrix}\\\\ &=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1\end{pmatrix} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{split} \textrm{C}^8\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}&=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\\\\ &=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2 \\ -2\sqrt{3}\end{pmatrix}\\\\ &=\boldsymbol{\begin{pmatrix}-1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}