学習院大学 理学部 2011年度 問4

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解答作成者: 門 直之

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入試情報

大学名 学習院大学
学科・方式 理学部
年度 2011年度
問No 問4
学部 理学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
(1)における[式:…]の答えが間違っているのでは? 正答は[式:…]だと思います。
knowl さん 2011/05/30 22:41:37 報告
2
knowl さんのおっしゃる通りです.早速訂正いたしました.
ご指摘ありがとうございます.
門 直之 さん 2011/06/01 00:05:35 報告
\documentclass[fleqn]{jsarticle} \usepackage{custom_suseum} \setlength{\topmargin}{0pt} \iftombow \addtolength{\topmargin}{-1in} \else \addtolength{\topmargin}{-1truein} \fi \setlength{\textheight}{26cm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pifont} \newdimen\mytempdima %% \newcommand{\egg}[1]{% \setbox0\hbox{\fontfamily{phv}\fontsize{9pt}{0}\selectfont#1\/}% \mytempdima\ht0 \advance\mytempdima-5.7pt \advance\mytempdima-\dp0 \divide\mytempdima 2\relax \makebox[1.5zw]{\ooalign{\lower0.35zw\hbox{% \includegraphics[bb=0 0 34 46,scale=0.263]{oval}}\crcr \hfil\lower\mytempdima\box0\hfil}}} \makeatletter \newcommand{\LEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}} \newcommand{\GEQQ}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}} \newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@ \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}} \makeatother \newcommand{\f}[1]{\framebox{\textgt{\small #1}}} \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} \begin{FRAME} \begin{flushleft} \hspace*{0.5zw}コインを投げ,点Pを次の規則によって正三角形ABCの頂点A,B,C上を動かす。点PがAにあるときは,表が出たらBに動かし,裏が出たらCに動かす。 Bにあるときは,表が出たらCに動かし,裏が出たらAに動かす。Cにあるときは,表が出たらAに動かし,裏が出たらBに動かす。\\ \hspace*{0.5zw}はじめに点PはAにあるとし,コインを $n$ 回投げた後にPがAにある確率を $a_n$,Bにある確率を $b_n$,Cにある確率を $c_n$ とする。\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}(1) $a_1=0, b_1=\dfrac{1}{2}, c_1=\dfrac{1}{2}$ である。$n=2, 3, 4$ に対して,$a_n, b_n, c_n$ を求めよ。\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{0.5zw}(2) (i) $a_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ を用いて表せ。\\ \hspace*{1.7zw} (ii) $b_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ を用いて表せ。\\ \hspace*{1.4zw} (iii) $c_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ を用いて表せ。 \\ \hspace*{0.5zw}(3) $b_n=c_n$ であることを示せ。\\ \hspace*{0.5zw}(4) $a_n$ を求めよ。 \begin{flushright} (40点) \end{flushright} \end{flushleft} \end{FRAME} \begin{flushleft} \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}(1) $n=2$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} a_2&=a_1 \times 0+b_1 \times \dfrac{1}{2}+c_1 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_2&=a_1 \times \dfrac{1}{2}+b_1 \times 0+c_1 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} c_2&=a_1 \times \dfrac{1}{2}+b_1 \times \dfrac{1}{2}+c_1 \times 0\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{2.7zw}$n=3$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} a_3&=a_2 \times 0+b_2 \times \dfrac{1}{2}+c_2 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_3&=a_2 \times \dfrac{1}{2}+b_2 \times 0+c_2 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{8}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} c_3&=a_2 \times \dfrac{1}{2}+b_2 \times \dfrac{1}{2}+c_2 \times 0\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{8}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{2.7zw}$n=4$ のとき, \begin{equation*} \begin{split} a_4&=a_3 \times 0+b_3 \times \dfrac{1}{2}+c_3 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{8}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} b_4&=a_3 \times \dfrac{1}{2}+b_3 \times 0+c_3 \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{5}{16}} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} c_4&=a_3 \times \dfrac{1}{2}+b_3 \times \dfrac{1}{2}+c_3 \times 0\\ &=\boldsymbol{\dfrac{5}{16}} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}(2) (1) と同様にして,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}(i) $a_{n+1}$ について, \begin{equation*} \begin{split} a_{n+1}&=a_n \times 0+b_n \times \dfrac{1}{2}+c_n \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{1}{2}c_n} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}(ii) $b_{n+1}$ について, \begin{equation*} \begin{split} b_{n+1}&=a_n \times \dfrac{1}{2}+b_n \times 0+c_n \times \dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}c_n} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}(iii) $c_{n+1}$ について, \begin{equation*} \begin{split} c_{n+1}&=a_n \times \dfrac{1}{2}+b_n \times \dfrac{1}{2}+c_n \times 0\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}b_n} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}(3) (2) より, \begin{equation*} \begin{split} b_{n+1}-c_{n+1}&=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}c_n-\Big(\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}b_n\Big)\\ &=-\dfrac{1}{2}(b_n-c_n) \end{split} \end{equation*} となり,数列 $\left\{b_n-c_n\right\}$ は,初項 : $b_1-c_1=0$,公比 : $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので,\\ \hspace*{3zw}$b_n-c_n=0$\\ \hspace*{1zw}故に,$\boldsymbol{b_n=c_n}$ が示された.\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}(4) (3) より, \begin{equation*} \begin{cases} a_{n+1}=b_n\\ b_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}b_n \end{cases} \end{equation*} なので,2式より $b_n, b_{n+1}$ を消去すると,\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{3zw}$a_{n+2}=\dfrac{1}{2}a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_n$\\ \vspace*{0.5zw} \hspace*{1zw}これより, \begin{equation*} \begin{cases} a_{n+2}-a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}(a_{n+1}-a_n) \cdots \cdots \MARU{1}\\ a_{n+2}+\dfrac{1}{2}a_{n+1}=a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_n \cdots \cdots \MARU{2} \end{cases} \end{equation*} \hspace*{1zw}$\MARU{1}$ より,数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ は,初項 : $a_2-a_1=\dfrac{1}{2}$,公比 : $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので, \vspace*{0.5zw} \hspace*{3.2zw}$a_{n+1}-a_n=-\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^n \cdots \cdots \MARU{3}$\\ \hspace*{1zw}\MARU{2} より,数列 $\left\{a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_n\right\}$ は,定数数列なので, \begin{equation*} \begin{split} a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_n&=a_2+\dfrac{1}{2}a_1\\ &=\dfrac{1}{2} \cdots \cdots \MARU{4} \end{split} \end{equation*} \hspace*{1zw}\MARU{3},\MARU{4} より,辺々引いて,$-\dfrac{3}{2}a_n=-\dfrac{1}{2}-\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^n$\\ \vspace*{1zw} \hspace*{1zw}従って, \begin{equation*} \begin{split} a_n&=\dfrac{2}{3}\left\{\dfrac{1}{2}+\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^n\right\}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\left\{1-\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\right\}} \end{split} \end{equation*} \end{flushleft} \end{document}