早稲田大学 理工 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2011年度
問No 問3
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \def\upleft{\begin{picture}(12,12) \put(1, 7.8){\arc{17}{0}{1.5}} \path(8.2, 5.5)(9.55, 7.8)(10.2, 5.3) \end{picture}} \def\upright{\begin{picture}(12,12) \put(10,-1){\arc{17}{-3.1}{-1.6}} \path(7.5, 8.3)(10, 7.7)(7.8, 6.2) \end{picture}} \def\downleft{\begin{picture}(12,12) \put(10, 7.8){\arc{17}{1.6}{3.1}} \path(7.8, 0.7)(10, -0.9)(7.5, -1.5) \end{picture}} \def\downright{\begin{picture}(12,12) \put(1,-1){\arc{17}{-1.55}{0}} \path(8.2, 1.3)(9.55, -1)(10.2, 1.5) \end{picture}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.8zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{133mm} {\quad\,$f(x)=\dfrac{\log x}{x}\ とする。以下の問に答えよ。\\[4mm]% \ (1)\ \ y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け\!:\,f(x)の増減,グラフ\\[1mm] \hspace*{2.4zw}の凹凸,\ \ x\to+0,\,x\to\infty\,のときのf(x)の挙動。\\[2mm] \ (2)\ \ nを自然数とする。\ \,k=1,\hspace*{1pt}2,\hspace*{1pt}\cdots \,,\hspace*{1pt}nに対してxが\ \mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n} $}\leqq x\leqq\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$}\,を動く\hspace* {1zw}\\[1mm]\hspace*{2.4zw}ときのf(x)の最大値を\ M_k,\ \,最小値を\ m_k\,とし, \displaystyle \\[4mm]\hspace*{12zw} A_n=\sum_{k=1}^n M_k\bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} -\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\bigr), \\[1.5mm] \hspace*{12zw} B_n=\sum_{k=1}^n m_k\bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$\frac{\,k\,}{n}$}-\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$} \bigr), \\[4mm] \hspace*{2.4zw}とおく。\ A_n,\,B_n\,を求めよ。\\[2mm] \ (3)\ \,\lim_{n\to\infty} A_n\,および\,\lim_{n\to\infty} B_n\,を求めよ。\\[2mm] \ (4)\ \ 各nに対してB_n<\int_1^{\mbox{\small$e$}} f(x)\,dx<A_n\, であることを示せ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ f(x)を微分すると \\[1.5mm]\hspace*{5zw} f'(x)=\frac{\,\raisebox{2mm}{$\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\,\raisebox{.5mm}{$x$}\,}\ten x-(\log x)\ten 1$}\,}{x^2} =\frac{\,1-\log x\,}{x^2} \\[2mm] \hspace*{5zw} f''(x)=\frac{\,\raisebox{2mm}{$-\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\,\raisebox{.5mm}{$x$}\,}\ten x^2-(1-\log x)\ten 2x$}\,}{x^4} =\frac{\,2\log x-3\,}{x^3} \\[2mm] \quad となり,符号を調べると \\ \hspace*{5zw} f'(x)>0\iff 1-\log x>0 \iff \log x<1=\log e \iff x<e \\[1.5mm] \hspace*{5zw} f''(x)>0 \iff 2\log x-3>0 \iff \log x>\frac{\,\raisebox{-.4mm} {3}\,}{2} \iff x>\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$} \\ [2mm]\quad であるから,\ \ f(x)の増減,グラフの凹凸は \\[1mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline\tabtopsp{2mm} x & (0) & & \mbox{\large$e$} & & \mbox{\large$e$}\raisebox{6pt}{\small$ \frac{\,3\,}{2}$} & & (\infty) \\[.5mm]\hline f'(x) & & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & (-\infty) & \upright & 極大 & \downright & 変曲点 & \downleft & (0) \\ \hline \end{array} \\[2mm] \quad\, y=f(x)のグラフの概形は \\ \hspace*{9zw} \begin{picture}(100,45) \path(-18,0)(160,0) \path(155, -1.5)(160,0)(155, 1.5) \put(154,-8){$x$} \path(0,-60)(0,40) \path(-1.5, 35)(0,40)(1.5, 35) \put(-8,35){$y$} \put(-9,-9){\small O} \qbezier(3, -59.5)(5,-15)(20,0) \put(20,-9){\small 1} \qbezier(20,0)(35,15)(55,15) \qbezier(55,15)(72,15)(90,10) \qbezier(90,10)(112,3)(159.4, 2) \put(52,-9){\large$e$} \put(170,-45){(答)} \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(55,0)(55,15)(0,15) \put(-11,12) {$\frac{1}{\,\mbox{\small$e$}\,}$} \dashline[30]{1.5}(91,0)(91,10) \put(87,-15){$e$} \put(91,-9){\footnotesize$\frac{\,3\,}{2}$} \end{picture} \\[22mm] \ \ \paalen{注}\ \ 「x\to\infty のときのf(x)の挙動に注意して」\hspace*{1pt}と いうのは,公式の証明までは\\[1.5mm]\qquad 要求されていないと考えて,公式\ \lim_{x\to\infty} \frac{\,\log x\,}{x}=0 \ を用いた。\\[5mm] (2)\ \ 1\leqq x\leqq eでf(x)は単調増加であるから,特に\ \mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\leqq x\leqq\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$\frac{\,k\,}{n}$}\,において \\[2mm] \hspace*{6zw} M_k=f\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} \Bigr)=\frac{\,k\,}{n}\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$-\frac{\,k\,}{n}$}, \ \ m_k=f\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigr) =\frac{\,k-1\,}{n}\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$-\frac{\,k-1\,}{n}$} \\ [2mm]\quad であり,\ \ A_n,\ B_n\,の定め方より \\[1.5mm]\makebox[7.3zw][r] {$A_n$}=\sum_{k=1}^n \frac{\,k\,}{n}\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$-\frac{\,k\,}{n}$}\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} -\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{7.3zw} =\sum_{k=1}^n \frac{\,k\,}{n}\Bigl(1-\mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$-\frac{1}{\,n\,}$}\Bigr) \\[1mm]\hspace*{7.3zw} =\frac{1}{\,n\,}\ten\frac{\,n(n+1)\,}{2}\Bigl(1-\mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$-\frac{1}{\,n\,}$}\Bigr)=\frac{\,n+1\,}{2}\Bigl(1- \mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$-\frac{1}{\,n\,}$}\Bigr) \ \ \ (答) \\[4mm] \makebox[7.3zw][r]{$B_n$}=\sum_{k=1}^n \frac{\,k-1\,}{n}\mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$-\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$ \frac{\,k\,}{n}$}-\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigr) \\[1.5mm]\hspace*{7.3zw} =\sum_{k=1}^n \frac{\,k-1\,}{n}\Bigl(\mbox{\large$ e$}\raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,n\,}$}-1\Bigr) \\[1.5mm]\hspace*{7.3zw} =\frac{1}{\,n\,}\ten\frac{\,n(n-1)\,}{2}\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$\frac{1}{\,n\,}$}-1\Bigr)=\frac{\,n-1\,}{2}\Bigl(\mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,n\,}$}-1\Bigr) \ \ \ (答) \\[5mm] \raisebox{.5pt}{(3)\ \ (2)}より,公式\ \lim_{h\to 0} \frac{\,e^h-1\,}{h}=1を 用いて,\\[1mm]\hspace*{4zw} \lim_{n\to\infty} A_n=\lim_{n\to\infty} \mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$-\frac{1}{\,n\,}$}\ten\frac{\,\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt} {$\frac{1}{\,n\,}$}-1\,}{\dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\,n\,}\tabtopsp{0mm}} \ten\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1+\frac{1}{\,n\,}\Bigr) =1\ten 1\ten\frac{1}{\,2\,}(1+0)=\frac{1}{\,2\,} \ \ (答) \\[2mm] \hspace*{4zw} \lim_{n\to\infty} B_n=\lim_{n\to\infty} \frac{\,\mbox{\large$ e$}\raisebox{7pt}{$\frac{1}{\,n\,}$}-1\,}{\dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\,n\,} \tabtopsp{0mm}}\ten\frac{1}{\,2\,}\Bigl(1-\frac{1}{\,n\,}\Bigr) =1\ten\frac{1}{\,2\,}(1-0)=\frac{1}{\,2\,} \ \ \ (答) \\[5mm] (4)\ \ f(x)は1\leqq x\leqq eにおいて狭義単調増加であるから,\\[1.8mm] \hspace*{6zw} \mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}<x <\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$}\,のとき\ m_k<f(x)<M_k \\ [1mm]\quad であり,定積分の性質より,\ \ \alpha(k)=\mbox{\large$e$} \raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$}\,とおくと \\[2mm] \hspace*{6zw} \int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} m_k\,dx <\int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} f(x)\,dx <\int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} M_k\,dx \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \sum_{k=1}^n \int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt} \alpha(k)} m_k\,dx<\int_1^{\hspace*{1pt}e} f(x)\,dx <\sum_{k=1}^n \int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} M_k\,dx \\[2mm] \quad ここで,\\[1mm] \hspace*{5zw} \sum_{k=1}^n \int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} m_k\, dx=\sum_{k=1}^n \Bigl[\,m_k x\,\Bigr]_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} =\sum_{k=1}^n m_k\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} -\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigr)=B_n \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \sum_{k=1}^n \int_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} M_k\, dx=\sum_{k=1}^n \Bigl[\,M_k x\,\Bigr]_{\alpha(k-1)}^{\hspace*{1pt}\alpha(k)} =\sum_{k=1}^n M_k\Bigl(\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k\,}{n}$} -\mbox{\large$e$}\raisebox{7pt}{$\frac{\,k-1\,}{n}$}\Bigr)=A_n \\[2.5mm] \quad であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} B_n<\int_1^{\hspace*{1pt}e} f(x)\,dx<A_n $ \\[-1mm] \hfill \paalen{おわり} \end{document}