早稲田大学 理工 2011年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2011年度
問No 問2
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 三角関数 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.8zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.5zw}\parbox{130mm} {\quad\,$xy\makebox[4pt][c]{-}平面上の円\ C:x^2+y^2=1の内側を半径\hspace*{3pt} \dfrac{1}{2}\,の円DがCに接しながら\\[1mm]すべらずに転がる。時刻tにおいて Dは点(\cos t,\,\sin t)でCに接していると\\[1mm]する。\ \ D$の周上の点Pの 軌跡について考える。ある時刻\ $t_0^{}$\ において点Pが\\[.5mm]$(\dfrac{1}{\,4\,},\, \dfrac{\sqrt{3}}{4})にあり,\ \ Dの中心が第2象限にあるとする。以下の問に答えよ。\\[4mm] \ (1)\ \ 時\hspace*{.3pt}刻\ t_0^{}\ に\hspace*{.3pt}お\hspace*{.3pt}け% \hspace*{.3pt}る\ D\ の\hspace*{.3pt}中\hspace*{.3pt}心\hspace*{.3pt}の\hspace* {.3pt}座\hspace*{.3pt}標\hspace*{.3pt}を\hspace*{.3pt}求\hspace*{.3pt}め \hspace*{.3pt}よ。$ \\[2mm]% \ (2)\ \ 第1象限において,点Pが点$C$上にあるときのPの座標を求めよ。\\[2mm]% \ (3)\ \ 点\ P\ の\hspace*{.3pt}軌\hspace*{.3pt}跡\hspace*{.3pt}を\ $ xy$\makebox[4pt][c]{-}平\hspace*{.3pt}面\hspace*{.3pt}上\hspace*{.3pt}に% \hspace*{.3pt}図\hspace*{.3pt}示\hspace*{.3pt}せ\hspace*{.3pt}よ。} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\[1mm] (1)\ \ DとCの接点を(\cos t,\ \sin t)とするとき,\ \ Dの中心は\Bigl(\frac{1} {\,2\,}\cos t,\ \frac{1}{\,2\,}\sin t\Bigr)であ\\[1.5mm]\quad るから,ある時刻 t_0^{}\,\Bigl(\frac{\,\pi\,}{2}<t_0^{}<\pi\Bigr)でD上の点\mbox{P}が\biggl( \frac{1}{\,4\,},\ \frac{\sqrt{\,3\,}\,}{4}\biggr)となるとき,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \biggl(\frac{1}{\,2\,}\cos t_0^{}-\frac{1}{\,4\,}\biggr)^{\!2} +\biggl(\frac{1}{\,2\,}\sin t_0^{}-\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{4}\biggr)^{\!2} =\biggl(\frac{1}{\,2\,}\biggr)^{\!2} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \biggl(\cos t_0^{}-\frac{1}{\,2\,}\biggr)^{\!2} +\biggl(\sin t_0^{}-\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}\biggr)^{\!2}=1 \\[2mm] \hspace*{6zw} -(\cos t_0^{}+\sqrt{\,3\,}\sin t_0^{})+1=0 \\[2mm] \makebox[7.1zw][r]{$\dfrac{1}{\,2\,}$}=\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}\sin t_0^{} +\frac{1}{\,2\,}\cos t_0^{} \\[1.5mm]\hspace*{7.1zw} =\sin t_0^{}\cos\frac{\,\pi\,}{6}+\cos t_0^{}\sin\frac{\,\pi\,}{6} \\[1.5mm] \hspace*{7.1zw} =\sin\Bigl(t_0^{}+\frac{\,\pi\,}{6}\Bigr) \\[2mm] \quad\, \frac{\,2\,}{3}\pi<t_0^{}+\frac{\,\pi\,}{6}<\frac{\,7\,}{6}\pi\ より \\ [1.5mm]\hspace*{6zw} t_0^{}+\frac{\,\pi\,}{6}=\frac{\,5\,}{6}\pi \hspace*{3zw} \therefore\,\ t_0^{}=\frac{\,2\,}{3}\pi \\[2mm] \quad よって,時刻t_0^{}\,におけるDの中心は\,\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\cos\frac{2} {\,3\,}\pi,\ \frac{1}{\,2\,}\sin\frac{2}{\,3\,}\pi\Bigr),\ \,すなわち \\[1.5mm] \hspace*{8zw} \biggl(-\frac{1}{\,4\,},\ \frac{\sqrt{\,3\,}\,}{4}\biggr) \ \ \ (答) \\[4mm] \makebox[9zw][l]{(2)\hfill $\biggl(\dfrac{1}{\,4\,},\ \dfrac{\sqrt{\,3\,}\,}{4} \biggr)$}=\biggl(-\frac{1}{\,4\,},\ \frac{\sqrt{\,3\,}\,}{4}\biggr) +\Bigl(\frac{1}{\,2\,},\ 0\Bigr) \\[1.5mm]\hspace*{9zw} =\frac{1}{\,2\,}\Bigl(\cos\frac{\,2\,}{3}\pi,\ \sin\frac{\,2\,}{3}\pi\Bigr) +\frac{1}{\,2\,}(\cos 0,\ \sin 0) \\[2mm] \quad 求める点\mbox{P}を\biggl(\cos\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-\theta\Bigr),\ \sin\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-\theta\Bigr)\!\biggr)とすると,\ \ CとDの接点が 動いた\\[1.5mm]\quad 長さを2通りに表すことにより \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 1\ten\theta=\frac{1}{\,2\,}\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-0\Bigr) \hspace*{3zw} \therefore\,\ \frac{\,2\,}{3}\pi-\theta=\frac{\,\pi\,}{3} \\ [2mm]\quad よって,第1象限で\mbox{P}がC上にあるときの\mbox{P}の座標は \\[1mm] \hspace*{8zw} \biggl(\frac{1}{\,2\,},\ \frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}\biggr) \ \ \ (答) \\[4mm] (3)\ \ Dの中心\mbox{Q}の方向角tに対して,\ \ \raisebox{.5pt}{(2)}より \\[1mm] \hspace*{6zw} \Vec{QP}\,の方向角は\ t-2\Bigl(t-\frac{\,\pi\,}{3}\Bigr) =\frac{\,2\,}{3}\pi-t \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{QP}=\frac{1}{\,2\,}\biggl(\cos\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-t \Bigr),\ \,\sin\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-t\Bigr)\!\biggr) \\[1.5mm] \quad\,\Vec{OP}=\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}+\Vec{QP}\,より \\[1.8mm] \makebox[7.6zw][r]{$\Vec{OP}$}=\frac{1}{\,2\,}\biggl(\cos t+\cos\Bigl( \frac{\,2\,}{3}\pi-t\Bigr),\ \,\sin t+\sin\Bigl(\frac{\,2\,}{3}\pi-t\Bigr)\! \biggr) \\[1.5mm]\hspace*{7.6zw} =\biggl(\cos\frac{\,\pi\,}{3}\cos\Bigl(t-\frac{\,\pi\,}{3}\Bigr),\ \, \sin\frac{\,\pi\,}{3}\cos\Bigl(t-\frac{\,\pi\,}{3}\Bigr)\!\biggr) \\[1mm] \hspace*{7.6zw} =\cos\Bigl(t-\frac{\,\pi\,}{3}\Bigr)\biggl(\frac{1}{\,2\,}, \ \frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}\biggr) $ \\[1.5mm]% \quad よって,点Pの軌跡は次図のようになる。\\ \hspace*{12zw} \begin{picture}(60,70) \path(-42,0)(45,0) \path(40, -1.5)(45,0)(40, 1.5) \put(39,-8){$x$} \path(0,-50)(0,60) \path(-1.5, 55)(0,60)(1.5, 55) \put(-8,55){$y$} \allinethickness{.5pt}\path(20,35)(-20,-35) \put(1,-10){O} \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(20,0)(20,35)(0,35) \put(15.5, -12){$\frac{1}{\,2\,}$} \put(-30,6){$-\frac{1}{\,2\,}$} \put(-17,32){$\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}3\hspace*{.5pt}}\,}{2}$} \put(1,-38){$-\frac{\sqrt{\hspace*{.5pt}3\hspace*{.5pt}}\,}{2}$} \dashline[30]{1.5}(-20,0)(-20,-35)(0,-35) \put(60,-30){(答)} \end{picture} \end{document}