早稲田大学 理工 2011年度 問1

問題へ戻る

解答作成者: 大塚 美紀生

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2011年度
問No 問1
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

全件表示

No メッセージ 投稿者 日時    
1
恐縮ながら、(3)は不十分かと思われます。

例えば、t=2を [式:…]に代入します。
するとaの解は、-1と[式:…]の3つあります。

ゆえに、極値を与えるaのtに関する式について、
上のような議論を追加しなければなりません。
ぱんだ さん 2011/11/14 01:20:21 報告
2
申し訳ありません。
2ページ目があることに全く気づいておりませんでした……。
どなたか上のコメントを削除してはいただけないでしょうか……。
はんだ さん 2011/11/14 12:47:13 報告
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[1.8zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{133mm}{\quad $xy\makebox[4pt][c]{-}平面上の放物線y=x^2\,をCとする。以下の問に答えよ。\\[4mm] (1)\ \ C上の点(a,\,a^2)におけるCの法線の方程式を求めよ。\\[2mm] (2)\ \ 点(1,\,2)を通るCの法線の数を求めよ。\\[2mm] (3)\ \ 点(t,\,t+\dfrac{1}{2})を通るCの法線の数が2となるための\ t\ に対する条件を求\\ \qquad めよ。$} \end{FRAME} \quad $ \\ (1)\ \ 点(a,\ a^2)におけるC:y=x^2\,の法線の方程式は \\ \hspace*{6zw} 1\ten(x-a)+2\hspace*{.5pt}a\hspace*{.5pt}(y-a^2)=0 \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ x+2\makebox[6pt][c]{$a$}y-2a^3-a=0 \ \ \ (答) \\[4mm] (2)\ \ 点(a,\ a^2)におけるCの法線が点(1,\ 2)を通るとすれば,\displaystyle \\ \hspace*{6zw} 1+2\hspace*{.5pt}a\ten 2-2\hspace*{.5pt}a^3-a=0 \\ \hspace*{6zw} 2\hspace*{.5pt}a^3-3\hspace*{.5pt}a-1=0 \\ \hspace*{6zw} (a+1)(2a^2-2a-1)=0 \\[1mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ a=-1,\ \frac{\,1\pm\sqrt{\,3\,}\,}{2} \\[2mm] \quad よって,点(1,\ 2)を通るCの法線は \\ \hspace*{8zw} 3本 \ \ \ (答) \\[2mm] \quad\paalen{注}\ \ 上の解答は\hspace*{1pt}「接点が3個」\hspace*{1pt}であること を論じているだけなので,厳密には\\ \qquad 接点と接線が1対1であることを示す必要 があるが,入試の答案としてはこ\\ \qquad の程度で済ませてよいだろう。 \\[4mm] (3)\ \ 点(a,\ a^2)におけるCの法線が点\Bigl(t,\ t+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)を通ると すれば,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} t+2a\Bigl(t+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)-2a^3-a=0 \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ 2a^3-2\makebox[5pt][c]{$t$}a-t=0 \\[.5mm] \quad\, f(a)=2a^3-2\makebox[5pt][c]{$t$}a-tとおくと \\ \hspace*{6zw} f'(a)=6a^2-2t=2(3a^2-t) \\[2mm] \quad 点\Bigl(t,\hspace*{5pt}t+\frac{1}{\,2\,}\Bigr)を通るCの法線が2本となるの は,\ \ f(a)=0を満たす実数aがち\\[1.5mm]\quad ょうど2つあるときであり,それは f(a)が極値0をもつときである。極値が存在\\ \quad するための条件は \\ \hspace*{6zw} t>0 \\[.3mm] \quad であり,\\[.5mm] \hspace*{6zw} f\biggl(\pm\sqrt{\frac{\,t\,}{3}}\,\biggr)=\mp\frac{\,4\,} {3}t\,\sqrt{\frac{\,t\,}{3}}-t=0 \\[1.5mm] \quad\, t>0\ および\ \sqrt{\frac{\,t\,}{3}}>0\ を考えて,求める条件は \\[1mm] \hspace*{6zw} \frac{\,4\,}{3}\sqrt{\frac{\,t\,}{3}}=1 \hspace*{3zw} \therefore\,\ t=\frac{\,27\,}{16} \ \ \ (答) $ \end{document}