一橋大学 前期 2011年度 問5

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問5
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{5}} AとBの2人が,1個のサイコロを次の手順により投げ合う.\\ \hspace{3zw}1回目はAが投げる.\\ \hspace{3zw}1,2,3の目が出たら,次の回には同じ人が投げる.\\ \hspace{3zw}4,5の目が出たら,次の回には別の人が投げる.\\ \hspace{3zw}6の目が出たら,投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない. \BK{\kakkoichi} $n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ. \EK \BK{\kakkoni} ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ. \EK \BK{\kakkosan} $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $n$回目にBがサイコロを投げる確率を$b_n$とする.$n$回目にサイコロ投げが行われるのは,$n-1$回目までのサイコロ投げで1度も6の目が出ない場合であるから \[a_n+b_n=\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}\Cdots\maruichi\] また$n+1$回目にAがサイコロを投げるのは \[\tokeiichi\quad n回目に\text{A}がサイコロを投げて1,\,2,\,3の目が出る\] \[\tokeini\quad n回目に\text{B}がサイコロを投げて4,\,5の目が出る\] のいずれかの場合であるから \[a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}b_n\Cdots\maruni\] $\maruichi$より$b_n=\SK{\dfrac{5}{6}}\shisu{n-1}-a_n$であり,これを$\maruni$に代入して \[a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}\CK{\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}-a_n}\] \[\yueni\quad a_{n+1}=\frac{1}{6}a_n+\frac{1}{3}\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}\] 両辺に$6^{n+1}$をかけて \[6^{n+1}a_{n+1}=6^na_n+12\cdot5^{n-1}\] $6^na_n=c_n$とおくと\quad $c_{n+1}-c_n=12\cdot5^{n-1}$\\ $a_1=1$より$c_1=6a_1=6$であるから,$n\geq2$のとき \[c_n=c_1+\sum_{k=1}^{n-1}12\cdot5^{k-1}=6+12\cdot\frac{5^{n-1}-1}{5-1}=3(5^{n-1}+1)\] \[(これはn=1のときも正しい)\] したがって\quad $6^na_n=3(5^{n-1}+1)$ \[\yueni\quad \bd{a_n=\frac{1}{2}\CK{\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}+\SK{\frac{1}{6}}\shisu{n-1}}}\] \kakkonib\quad ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つのは,$n$回目にAがサイコロを投げて6の目を出す場合であるから \[\bd{p_n=}\,a_n\cdot\frac{1}{6}=\bd{\frac{1}{12}\CK{\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}+\SK{\frac{1}{6}}\shisu{n-1}}}\] \kakkosanb\quad $\bd{q_n=}\,\sum_{k=1}^{n}p_k$ \[\hspace{1.6zw}=\frac{1}{12}\sum_{k=1}^{n}\CK{\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n-1}+\SK{\frac{1}{6}}\shisu{n-1}}\] \[\hspace{1.6zw}=\frac{1}{12}\CK{\frac{1-\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n}}{1-\frac{5}{6}}+\frac{1-\SK{\frac{1}{6}}\shisu{n}}{1-\frac{1}{6}}}\] \[\hspace{1.6zw}=\bd{\frac{1}{10}\CK{6-5\SK{\frac{5}{6}}\shisu{n}-\SK{\frac{1}{6}}\shisu{n}}}\] \vspace{2mm} \Chu{$\maruni$と同様に \[b_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{2}b_n\Cdots\marusan\] が得られるので,これと$\maruni$から$a_n$を求めることもできます.方法としては$\maruni+\marusan,\,\maruni-\marusan$を考えて$a_n+b_n,\,a_n-b_n$を求めるものと,2式から$b_n$を消去して$a_n$の3項間漸化式を導くものがあります.} \end{document}