一橋大学 前期 2011年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問3
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{3}} $xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と2点A$(1,\,0)$,\,P$(0,\,3p)$がある.線分APと$C$は,Aとは異なる点Qを共有している. \BK{\kakkoichi} 定数$p$の存在する範囲を求めよ. \EK \BK{\kakkoni} S$_1$を,$C$と線分AQで囲まれた領域とし,S$_2$を,$C$,線分QP,および$y$軸とで囲まれた領域とする.S$_1$とS$_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichi\quad 直線APの方程式は$y=-3px+3p$であるから,直線APと$C$との共有点の$x$座標を求めると \[-3x^2+3=-3px+3p\] \[x^2-px+p-1=0\] \[(x-1)(x-p+1)=0 \Yueni x=1,\,p-1\] よって線分APと$C$がAとは異なる点Qを共有するとき \[0\leq p-1 <1 \Yueni \bd{1\leq p<2}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{hitotsubashi2011-3kaitou1.eps}{4.2cm}{30}% \kakkonib\quad S$_1$,S$_2$の面積をそれぞれ$S_1,S_2$とすると \[S_1=\dint{p-1}{1}\CK{-3x^2+3-(-3px+3p)}dx\] \[\hphantom{S_1}=-3\dint{p-1}{1}(x-1)(x-p+1)\,dx\] \[\hphantom{S_1}=\frac{3}{6}\CK{1-(p-1)}^3\] \[\hphantom{S_1}=\frac{1}{2}(8-12p+6p^2-p^3)\] \[S_2=\dint{0}{p-1}\CK{-3px+3p-(-3x^2+3)}dx\] \[\hphantom{S_2}=3\dint{0}{p-1}\CK{x^2-px+(p-1)}dx\] \[\hphantom{S_2}=3\tint{\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}px^2+(p-1)x}{0}{p-1}\] \[\hphantom{S_2}=(p-1)^3-\frac{3}{2}p(p-1)^2+3(p-1)^2=-\frac{1}{2}p^3+3p^2-\frac{9}{2}p+2\] したがって \[S_1+S_2=-p^3+6p^2-\frac{21}{2}p+6\] この式を$S$とおくと \[\frac{dS}{dp}=-3p^2+12p-\frac{21}{2}=-\frac{3}{2}(2p^2-8p+7)\] \hmawarikomi{19}{10}{\RESETKEYA \setkeys{zogen}{% hensu=p,ranaa=1,ranac=\dfrac{4-\dsqrt{2}}{2},ranae=2, kansub=\frac{dS}{dp},ranbb=-,ranbc=0,ranbd=+, kansuc=S,rancb=\searrow, rancd=\nearrow } \zogen(3,5)}{0.5cm}{19}% $S'(p)=0$となる$p$の値は\quad $p=\dfrac{4\pm\dsqrt{2}}{2}$\\ よって$1\leq p <2$における$S$の増減は右の表のようになり,$S$が最小となる$p$の値は\quad $\bd{p=\dfrac{4-\dsqrt{2}}{2}}$ \end{document}