一橋大学 前期 2011年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2011年度
問No 問1
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{1}} \BK{\kakkoichi} 自然数$x,\,y$は,$1<x<y$および \[\SK{1+\frac{1}{x}}\SK{1+\frac{1}{y}}=\frac{5}{3}\] をみたす.$x,\,y$の組をすべて求めよ. \EK \BK{\kakkoni} 自然数$x,\,y,\,z$は,$1<x<y<z$および \[\SK{1+\frac{1}{x}}\SK{1+\frac{1}{y}}\SK{1+\frac{1}{z}}=\frac{12}{5}\] をみたす.$x,\,y,\,z$の組をすべて求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $\SK{1+\dfrac{1}{x}}\SK{1+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{5}{3}\Cdots\maruichi$\\ $1<x<y$より$\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}$であるから\quad $\SK{1+\dfrac{1}{x}}\SK{1+\dfrac{1}{y}}<\SK{1+\dfrac{1}{x}}\shisu{2}$\\ よって$\maruichi$が成り立つとき\quad $\dfrac{5}{3}<\SK{1+\dfrac{1}{x}}\shisu{2}\Cdots\maruni$\\ $\maruni$の右辺は$x$について単調減少であり \[\SK{1+\frac{1}{3}}\shisu{2}=\frac{16}{9}>\frac{5}{3},\,\SK{1+\frac{1}{4}}\shisu{2}=\frac{25}{16}<\frac{5}{3}\] であるから$\maruni$を満たす1より大きい自然数$x$は\quad $x=2,\,3$\\ \quad $x=2$のとき$\maruichi$より\quad $\SK{1+\dfrac{1}{2}}\SK{1+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{5}{3} \Yueni y=9$\\ \quad $x=3$のとき$\maruichi$より\quad $\SK{1+\dfrac{1}{3}}\SK{1+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{5}{3} \Yueni y=4$\\ これらは$1<x<y$を満たすので\quad $\bd{(x,\,y)=(2,\,9),\,(3,\,4)}$ \h\kakkonib\quad $\SK{1+\dfrac{1}{x}}\SK{1+\dfrac{1}{y}}\SK{1+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{12}{5}\Cdots\marusan$\\ $1<x<y<z$より$\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y}>\dfrac{1}{z}$であるから\quad $\SK{1+\frac{1}{x}}\SK{1+\frac{1}{y}}\SK{1+\frac{1}{z}}<\SK{1+\frac{1}{x}}\shisu{3}$\\ よって$\marusan$が成り立つとき\quad $\dfrac{12}{5}<\SK{1+\dfrac{1}{x}}\shisu{3}\Cdots\marushi$\\ $\marushi$の右辺は$x$について単調減少であり \[\SK{1+\frac{1}{2}}\shisu{3}=\frac{27}{8}>\frac{12}{5},\,\SK{1+\frac{1}{3}}\shisu{3}=\frac{64}{27}<\frac{12}{5}\] であるから$\marushi$を満たす1より大きい自然数$x$は\quad $x=2$\\ このとき$\marusan$より\quad $\SK{1+\dfrac{1}{y}}\SK{1+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{8}{5}\Cdots\marugo$\\ $1<y<z$より$\dfrac{1}{y}>\dfrac{1}{z}$であるから\quad $\SK{1+\dfrac{1}{y}}\SK{1+\dfrac{1}{z}}<\SK{1+\dfrac{1}{y}}\shisu{2}$\\ よって$\marugo$が成り立つとき\quad $\dfrac{8}{5}<\SK{1+\dfrac{1}{y}}\shisu{2}\Cdots\maruroku$\\ $\maruroku$の右辺は$y$について単調減少であり \[\SK{1+\frac{1}{3}}\shisu{2}=\frac{16}{9}>\frac{8}{5},\,\SK{1+\frac{1}{4}}\shisu{2}=\frac{25}{16}<\frac{8}{5}\] であるから$\maruroku$かつ$y>x=2$を満たす自然数$y$は\quad $y=3$\\ このとき$\marugo$より\quad $\SK{1+\dfrac{1}{3}}\SK{1+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{8}{5} \Yueni z=5$\\ これらは$1<x<y<z$を満たすので\quad $\bd{(x,\,y,\,z)=(2,\,3,\,5)}$ \vspace{2mm} \Chu{\kakkoichi は次のように解くこともできます.\\ \quad $\maruichi$の両辺に$3xy$をかけて\quad $3(x+1)(y+1)=5xy$ \[\quad 2xy-3x-3y-3=0\] 両辺2倍して\quad $4xy-6x-6y-6=0 \Yueni (2x-3)(2y-3)=15$\\ $1<x<y$より$-1<2x-3<2y-3$であり,$2x-3$と$2y-3$はともに整数であるから \[\quad (2x-3,\,2y-3)=(1,\,15),\,(3,\,5)\] \[\quad \yueni\quad (x,\,y)=(2,\,9),\,(3,\,4)\] ただし\kakkoni を因数分解だけで解くことはできませんので,ここでは不等式で範囲を絞るという方針で\kakkoichi,\kakkoni ともに解答しました. } \end{document}