慶應義塾大学 薬学部 2011年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2011年度
問No 問4
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=-2mm \usepackage{amsmath,amssymb,emathP} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\va#1{\overset{\to}{\tabtopsp{-3.3mm}#1}} \def\vb#1{\overset{\to}{\tabtopsp{-3.3mm}\vphantom{a}}\hspace*{-7pt}#1\,} \def\abs#1{\raisebox{1pt}{$\big|$}#1\raisebox{1pt}{$\big|$}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\defbox#1{\framebox[11mm][c]{#1}} \def\tbox#1{\framebox[9mm][c]{#1}} \def\kybox#1{\framebox[9.8mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})}} \def\ky2box#1#2{\framebox[17mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})\hspace* {1.2pt}(\makebox[1zw][c]{#2})}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \noindent\begin{tabular}{|c|}\hline\makebox[158mm][c]{}\\[-1mm]\quad\parbox{154mm} {\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm以\hspace*{-.5pt}下\hspace*{-.5pt}の\hspace* {-.5pt}問\hspace*{-.5pt}の\ \raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(66)}}\,~% \,\raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(90)}}\ に\hspace*{-.5pt}当\hspace* {-.5pt}て\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}適% \hspace*{-.5pt}切\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}値\hspace* {-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}マ\hspace*{-.5pt}イ% \hspace*{-.5pt}ナ\hspace*{-.5pt}ス\hspace*{-.5pt}符\hspace*{-.5pt}号\paalen{% \raisebox{.5pt}{$-$}}を\hspace*{-.5pt}マ\hspace*{-.5pt}ー\hspace*{-.5pt}ク% \hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}さ\hspace*{-.5pt}い. \\[4mm]% 点Oを中心とする扇形OABがあり,OA\,\raisebox{.5pt}{=}\,OB\ \raisebox{.5pt} {=}\ 3,\ \ $\angle$AOB\,\raisebox{.5pt}{=}\,60$^\circ$\,である.\\[1mm]% 線\hspace*{.5pt}分OB上\hspace*{.5pt}に\ OC\,\raisebox{.5pt}{=}\ 2で\hspace* {.5pt}あ\hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}点Cを\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}る. 弧AB上\ \paalen{A,\ \ Bを除く}\ に\hspace*{.5pt}点Pを\hspace*{.5pt}と\hspace* {.5pt}り,線分\\[1mm]\hspace*{-1zw}\,OPと線分ACの交点をQとする.\hspace* {-2pt}また,\hspace*{-1pt}$\Vec{OA}=\va{a},\ \,\Vec{OC}=\va{c}\ とおく.\\[5mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(1)}\mbox{AQ\ \raisebox{.5pt}{:}\ QC}=3\ \raisebox{.5pt}{:}\ 1\ のとき,\ \ \displaystyle\Vec{OP} =\frac{\,\sqrt{\ \kybox{66}\ }\ }{\kybox{67}}\va{a}+\frac{\ \kybox{68}\, \sqrt{\ \kybox{69}\ }\ }{\kybox{70}}\va{c} \quad である.\\[5mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(2)} \abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}\ が 最小のとき,\ \ \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\ \kybox{71}\ }{\kybox{72}} \va{a}+\frac{\ \kybox{73}\ }{\kybox{74}}\va{c}, \\[3mm]\,\Vec{OP}= \frac{\,\sqrt{\ \ky2box{75}{76}\ }\ }{\ky2box{77}{78}}\va{a}+\frac{\ \kybox{79} \,\sqrt{\ \ky2box{80}{81}\ }\ }{\kybox{82}}\va{c}\quad である.\\[5mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(3)} \triangle\mbox{OAP}の面積が\, \frac{\,3\sqrt{\makebox[8pt][c]{5}}}{2}\,のとき,\ \ \abs{\Vec{\makebox[17.5pt] [c]{OQ}}}=\frac{\ \framebox[24mm][c]{(83)\hspace*{1pt}(84)\hspace*{1pt}(85)}\ } {\kybox{86}}+\frac{\ \kybox{87}\,\sqrt{\ \ky2box{88}{89}\ }\ }{\kybox{90}} \\[1mm] である.$\\[1mm]}\\ \hline \end{tabular} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ \mathrm{AQ:QC}=3:1のとき \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\,\Vec{OA}+3\hspace*{1pt}\Vec{OC}\,} {3+1}=\frac{1}{\,4\,}\v{a}+\frac{3}{\,4\,}\v{c} \\[2mm] \quad ここで,\\ \hspace*{6zw} |\!\v{a}\!|=3,\ \,|\!\v{c}\!|=2,\ \,\v{a}\ten\v{c}=|\!\v{a}\!||\!\v{c}\!| \cos 60^\circ=3 \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{5zw}\\[1.2mm] \quad を用いて\,\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}を計算すると \\[1.5mm] \makebox[8.4zw][r]{$\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}$} =\frac{1}{\,4\,}\abs{\v{a}+3\v{c}} \\[1.5mm] \hspace*{8.4zw} =\frac{1}{\,4\,}\sqrt{\,|\!\v{a}\!|^2+6\v{a}\ten\v{c} +9\hspace*{1pt}|\!\v{c}\!|^2\,} \\[1.5mm]\hspace*{8.4zw} =\frac{1}{\,4\,}\sqrt{\,3^2+6\times 3+9\times 2^2\,} \\[1.5mm] \hspace*{8.4zw} =\frac{3}{\,4\,}\sqrt{\,1+2+4\,}=\frac{\,3\sqrt{\,7\,}\,}{4} \\[2mm]\quad 点\mbox{PはOQ}の延長上にあり,\ \ \abs{\Vec{OP}}=3であるから \\ [1.5mm]\makebox[13.6zw][r]{$\Vec{OP}=\dfrac{\,\abs{\Vec{OP}}\,} {\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}}\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}$} =\frac{4}{\sqrt{\,7\,}\,}\biggl(\frac{1}{\,4\,}\v{a}+\frac{3}{\,4\,}\v{c} \biggr) \\[.5mm]\hspace*{13.6zw} =\frac{\overset{\hspace*{10pt}(66)}{\sqrt{\,\tbox{7}\,}}\,}{\underset{(67)} {\tbox{7}}}\v{a}+\frac{\,\overset{(68)}{\tbox{3}}\overset{\hspace*{10pt}(69) }{\sqrt{\,\tbox{7}\,}}\,}{\underset{(70)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[4mm] (2)\ \ \mbox{Qは線分AC}上の点であるから \\[.7mm] \hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=(1-t)\v{a}+t\v{c} \quad (0\leqq t\leqq 1) \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{5zw}\\[.5mm] \quad と表される。\\[.5mm] \qquad \abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}\,が最小のとき\ \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}\!\perp\!\Vec{AC}\,となるから \\[1mm] \hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}\ten\Vec{AC} =\bigl\{\v{a}+t\,(\v{c}-\v{a})\bigr\}\ten(\v{c}-\v{a})=0 \\[.5mm] \hspace*{6zw}\! \v{a}\ten(\v{c}-\v{a})+|\v{c}-\v{a}|^2\,t=0 \\[.5mm] \hspace*{6zw}\! \v{a}\ten\v{c}-|\v{a}|^2+\bigl(\,|\v{c}|^2-2\v{c}\ten\v{a} +|\v{a}|^2\bigr)\,t=0 \\ \hspace*{6zw} 3-3^2+(2^2-2\times 3+3^2)\hspace*{1pt}t=0 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 7t-6=0 \hspace*{3zw} \therefore\,\ t=\frac{6}{\,7\,} \\[2mm] \quad \maru{2}に代入して,\\[-1mm] \hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\overset{(71)}{\tbox{1}}} {\,\underset{(72)}{\tbox{7}}\,}\v{a}+\frac{\,\overset{(73)}{\tbox{6}}\,} {\underset{(74)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[1.5mm] \quad \maru{1}を用いて大きさを求めると \\[1.5mm]\makebox[8.4zw][r] {$\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}$}=\frac{1}{\,7\,}|\v{a}+6\v{c}| \\ [1.5mm]\hspace*{8.4zw} =\frac{1}{\,7\,}\sqrt{\,|\!\v{a}\!|^2+12\v{a}\ten \v{c}+36\hspace*{1pt}|\!\v{c}\!|^2\,} \\[1.5mm] \hspace*{8.4zw} =\frac{1}{\,7\,}\sqrt{\,3^2+12\times 3+36\times 2^2\,} \\ [1.5mm]\hspace*{8.4zw} =\frac{3}{\,7\,}\sqrt{\,1+4+16\,} =\frac{\,3\sqrt{\,21\,}\,}{7} \\[2mm] \quad 点\mbox{PはOQ}の延長上にあり,\ \ \abs{\Vec{OP}}=3であるから \\[1.5mm] \makebox[13.6zw][r]{$\Vec{OP}=\dfrac{\,\abs{\Vec{OP}}\,} {\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}}\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}$} =\frac{7}{\sqrt{\,21\,}\,}\biggl(\frac{1}{\,7\,}\v{a}+\frac{6}{\,7\,}\v{c} \biggr) \\[.5mm]\hspace*{13.6zw} =\frac{\overset{\hspace*{10pt}(75)(76)}{\sqrt{\,\tbox{21}\,}}\,} {\underset{(77)(78)}{\tbox{21}}}\v{a}+\frac{\,\overset{(79)}{\tbox{2}} \overset{\hspace*{10pt}(80)(81)}{\sqrt{\,\tbox{21}\,}}\,} {\underset{(82)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[4mm] (3)\ \ \mbox{CからOAにおろした垂線の足をG}とすると,\\ \hspace*{6zw} \mbox{OG}=2\cos 60^\circ=1 \\ \hspace*{6zw} \mbox{CG}=2\sin 60^\circ=\sqrt{\,3\,} \\[2mm] \hspace*{6zw} \Vec{GC}=\Vec{OC}-\Vec{OG}=\v{c}-\frac{1}{\,3\,}\v{a} \\[2mm] \quad\,\mbox{PからOAに下ろした垂線の足をH}とすると,\\ \quad \triangle\mbox{OAP}の面積について \\[1mm]\hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\times\mbox{PH}\times 3=\frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{2} \\[-3mm] \hspace*{23zw} \begin{picture}(0,0) \path(60,104)(0,0)(120,0) \put(0,0){\arc{240}{-1.045}{0}} \put(-10,-5){O} \path(40,0)(40,69)(120,0) \path(0,0)(80,89)(80,0) \path(35,0)(35,5)(40,5) \path(75,0)(75,5)(80,5) \put(122,-5){A} \put(55,107){B} \put(30,69){C} \put(81,92){P} \put(49,47){Q} \put(36,-10){G} \put(76,-10){H} %(47,63){Q} \path(120,0)(80, 89.3) \end{picture} \\[.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \mbox{PH}=\sqrt{\,5\,} \\[.5mm] \quad \triangle\mbox{OHP}において三平方の定理より \\[.5mm] \hspace*{6zw} \mathrm{OH=\sqrt{\,OP^2-PH^2\,}}=\sqrt{\,3^2-5\,}=2 \\[.5mm] \quad となるから,\\[.5mm] \makebox[13.5zw][r]{$\Vec{OP}=\Vec{OH}+\Vec{HP}$}=\frac{\,2\,}{3}\v{a}+\frac {\sqrt{\,5\,}\,}{\sqrt{\,3\,}\,}\biggl(\v{c}-\frac{1}{\,3\,}\v{a}\biggr) \\ [1.5mm]\hspace*{13.5zw} =\frac{\,6-\sqrt{\,15\,}\,}{9}\v{a} +\frac{\sqrt{\,15\,}\,}{3}\v{c} \\[2mm] \quad\,\mbox{Qは線分OP}上の点であるから \\[1mm]\hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=k\hspace*{1pt}\Vec{OP}=\frac{\,6-\sqrt{\,15\,} \,}{9}k\v{a}+\frac{\sqrt{\,15\,}\,}{3}k\v{c} \quad(0\leqq k\leqq 1)\\[1.5mm] \quad\mbox{と表すことができて,Qが線分AC}上の点でもあることより \\[15mm] \hspace*{6zw} \frac{\,6-\sqrt{\,15\,}\,}{9}k+\frac{\sqrt{\,15\,}\,}{3}k=1 \\ [1.5mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ k=\frac{9}{\,2\sqrt{\,15\,}+6\,} =\frac{\,9\hspace*{1pt}(\!\sqrt{\,15\,}-3)\,}{2\hspace*{1pt}(15-9)} =\frac{\,3\hspace*{1pt}(\!\sqrt{\,15\,}-3)\,}{4} \\[3mm] \quad よって,求める大きさは \\[-5mm] \hspace*{5.5zw} \abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}=k\hspace*{1pt} \abs{\Vec{OP}}=\frac{\,3\hspace*{1pt}(\!\sqrt{\,15\,}-3)\,}{4}\!\times\!3 =\frac{\,\overset{(83)(84)(85)}{\defbox{$-27$}}\,}{\underset{(86)} {\tbox{4}}}+\frac{\,\overset{(87)}{\tbox{9}}\overset{\hspace*{10pt}(88)(89)} {\sqrt{\,\tbox{15}\,}}\,}{\underset{(90)}{\tbox{4}}} \\[4mm] \textbf{\paalen{別解}}\ \ xy平面上で \\ \hspace*{6zw} \mbox{O}(0,\ 0),\ \,\mbox{A}(3,\ 0),\ \,\mbox{C}(1,\,\sqrt{\,3\,}\,),\ \, \mbox{P}(3\cos\theta,\ 3\sin\theta)\ (0^\circ\leqq\theta\leqq 60^\circ) \\ [.5mm]として考えても一般性を失わない。\\[2mm] (1)\ \ \mathrm{AQ:QC}=3:1のとき \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\,\Vec{OA}+3\hspace*{1pt} \Vec{OC}\,}{3+1}=\frac{1}{\,4\,}(3,\ 0)+\frac{3}{\,4\,}(1,\,\sqrt{\,3\,}\,) =\frac{\,3\,}{4}(2,\,\sqrt{\,3\,}\,) \\[2mm] \quad 点\mbox{PはOQ}の延長上にあり,\ \ \abs{\Vec{OP}}=3であるから \\[2mm] \makebox[15zw][r]{$\Vec{OP}=\dfrac{3}{\sqrt{\,7\,}\,}(2,\,\sqrt{\,3\,}\,)$} =\frac{3}{\sqrt{\,7\,}\,}(1,\,\sqrt{\,3\,}\,)+\frac{1}{\sqrt{\,7\,}\,} (3,\ 0) \\[1mm]\hspace*{15zw} =\frac{\overset{\hspace*{10pt}(66)}{\sqrt{\,\tbox{7}\,}}\,}{\underset{(67)} {\tbox{7}}}\v{a}+\frac{\,\overset{(68)}{\tbox{3}}\overset{\hspace*{10pt}(69) }{\sqrt{\,\tbox{7}\,}}\,}{\underset{(70)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[2mm] (2)\ \ 点\mbox{Oを通り,直線AC} \\[.5mm]\hspace*{6zw} y=-\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}(x-3) \hfill\cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw} \\[2mm]\quad に垂直な直線の方程式は \\[1mm]\hspace*{6zw} y=\frac{2}{\sqrt{\,3\,}\,}x \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\ [2mm]\quad\,\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}が最小となるのは\mathrm{OQ\! \perp\!AC}のときであるから,\ \ \maru{1}と\maru{2}の交点が題意の点\mbox{Q}\\ \quad である。\ \ \maru{1}かつ\maru{2}よりyを消去すると \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{2}{\sqrt{\,3\,}\,}x=-\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}(x-3) \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{\,4+3\,}{2\sqrt{\,3\,}}x=\frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{2} \hspace*{3zw} \therefore\,\ x=\frac{\,9\,}{7} \\[2mm] \quad \maru{2}に代入してyも求めると \\[1mm]\hspace*{6zw} y=\frac{2}{\sqrt{\,3\,}\,}\ten\frac{\,9\,}{7}=\frac{\,6\sqrt{\,3\,}\,}{7} \\ [2mm]\quad よって,\\[1mm]\makebox[15.1zw][r] {$\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\hspace*{-1pt}\biggl(\dfrac{\,9\,}{7},\ \dfrac{\,6\sqrt{\,3\,}\,}{7}\biggr)\!$}=\frac{6}{\,7\,}(1,\,\sqrt{\,3\,}\,) +\frac{1}{\,7\,}(3,\ 0) \\[1mm]\hspace*{15.1zw} =\frac{\overset{(71)}{\tbox{1}}}{\,\underset{(72)}{\tbox{7}}\,}\v{a} +\frac{\,\overset{(73)}{\tbox{6}}\,}{\underset{(74)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[2mm] \quad\, \Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\,3\sqrt{\,3\,}\,}{7}(\sqrt{\,3\,}, \ 2)と同じ向きの単位ベクトルは \\[1mm]\hspace*{6zw} \frac{1}{\sqrt{\,7\,}\,}(\sqrt{\,3\,},\ 2)=\frac{\sqrt{\,7\,}\,} {\,3\sqrt{\,3\,}\,}\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}=\frac{\sqrt{\,7\,}\,} {\,3\sqrt{\,3\,}\,}\biggl(\frac{1}{\,7\,}\v{a}+\frac{6}{\,7\,}\v{c}\biggr) \\[2mm]\quad であり,\ \ \abs{\Vec{OP}}=3であるから \\[-4mm] \hspace*{6zw} \Vec{OP}=\frac{\sqrt{\,7\,}\,} {\sqrt{\,3\,}\,}\biggl(\frac{1}{\,7\,}\v{a}+\frac{6}{\,7\,}\v{c}\biggr) =\frac{\overset{\hspace*{10pt}(75)(76)}{\sqrt{\,\tbox{21}\,}}\,} {\underset{(77)(78)}{\tbox{21}}}\v{a}+\frac{\,\overset{(79)}{\tbox{2}} \overset{\hspace*{10pt}(80)(81)}{\sqrt{\,\tbox{21}\,}}\,} {\underset{(82)}{\tbox{7}}}\v{c} \\[4mm] (3)\ \ \triangle\mbox{OAP}の面積が \\[.5mm]\hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\times 3\times 3\sin\theta=\frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{2}\\[2mm] \quad のとき,\\[1mm] \hspace*{5zw} \sin\theta=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{3},\ \ \cos\theta =\sqrt{\,1-\sin^2 \theta\,}=\frac{2}{\,3\,},\ \ \tan\theta =\frac{\,\sin\theta\,}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2} \\[2mm] \quad であるから,直線\mbox{OP}の方程式は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} y=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2}x \hfill\cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}\\ [2mm]\quad このとき,点\mbox{Q}は2直線\maru{1},\ \maru{3}の交点であり, 連立してyを消去すると,\\[1.5mm]\hspace*{6zw} -\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}(x-3)=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2}x \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ x=\frac{3\sqrt{\,3\,}} {\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,3\,}\,}=\frac{3\sqrt{\,3\,}\hspace*{1pt} (\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,3\,}\,)}{\,(\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,3\,}\,) (\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,3\,}\,)\,}=\frac{\,3\,}{2}(\sqrt{\,15\,}-3) \\[2mm] \quad よって,求める大きさは \\[1mm]\makebox[8.4zw][r] {$\abs{\Vec{\makebox[17.5pt][c]{OQ}}}$}=x\raisebox{-3pt}{\scriptsize Q} \times\sqrt{\,1+\biggl(\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2}\biggr)^{\!2}\,} \\[-3mm] \hspace*{8.4zw} =\frac{\,3\,}{2}(\sqrt{\,15\,}-3)\times\frac{\,3\,}{2} =\frac{\,\overset{(83)(84)(85)}{\defbox{$-27$}}\,}{\underset{(86)} {\tbox{4}}}+\frac{\,\overset{(87)}{\tbox{9}}\overset{\hspace*{10pt}(88)(89)} {\sqrt{\,\tbox{15}\,}}\,}{\underset{(90)}{\tbox{4}}} \\[4mm] \textbf{\paalen{注}}\ \ \raisebox{.5pt}{(3)}は初等幾何で解くこともできる。\\ [.5mm]\quad\ \ \mbox{C,\ \,P,\ \,QからOAに下ろした垂線の足をそれぞれG,\ \,H,% \ \,R}とする。\\[1.5mm]\quad\ \ 直角三角形\mbox{OGCにおいてOC}=2,\ \angle\hspace*{1pt}\mbox{COG}=60^\circ\,であるから \\ \hspace*{6zw} \mbox{CG}=2\sin 60^\circ=\sqrt{\,3\,} \\ \hspace*{6zw} \mbox{OG}=2\cos 60^\circ=1 \\[2mm] \quad\ \ \triangle\mbox{OAP}の面積は\,\frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{2}\,であるから, \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\times\mbox{PH}\times 3=\frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{2} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \mbox{PH}=\sqrt{\,5\,} \\[.5mm] \quad\ \ 直角三角形\mbox{OHP}において三平方の定理より \\[-3mm] \hspace*{24zw} \begin{picture}(0,0) \path(60,104)(0,0)(120,0) \put(0,0){\arc{240}{-1.045}{0}} \put(-10,-5){O} \path(40,0)(40,69)(120,0) \path(0,0)(80,89)(80,0) \path(35,0)(35,5)(40,5) \path(75,0)(75,5)(80,5) \put(122,-5){A} \put(55,107){B} \put(30,69){C} \put(81,92){P} \put(48,64){Q} \put(36,-10){G} \put(76,-10){H} \path(52.4, 0)(52.4, 58) \path(47.4, 0)(47.4, 5)(52.4, 5) \put(49,-10){R} \path(120,0)(80, 89.3) \end{picture} \\[-1.5mm] \makebox[7.6zw][r]{OH}=\mathrm{\sqrt{\,OP^2-PH^2\,}} \\[.3mm] \hspace*{7.6zw} =\sqrt{\,3^2-5\,} \\ \hspace*{7.6zw} =2 \\ \quad\ \ \mbox{QR}=q,\ \ \mathrm{OR:RA}=r:(1-r)\ (0<r<1)とおくと,\\ \hspace*{6zw} \triangle\mathrm{ARQ∽\triangle AGC,\ \ \triangle ORQ∽\triangle OHP} \\[.3mm] \quad\ \ より \\[1mm] \hspace*{6zw} \mathrm{\frac{\,QR\,}{AR}=\frac{\,CG\,}{AG},\ \ \frac{\,QR\,}{OR}=\frac{\,PH\,}{OH} }\\[2mm]\hspace*{5zw} \therefore\,\ q=\frac{\sqrt{\,3\,}\,}{2}\ten 3(1-r)=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2}\ten 3r \\ [2mm]\quad\ \ \,qを消去して \\[.5mm] \hspace*{6zw} \sqrt{\,3\,}\,(1-r)=\sqrt{\,5\,}r \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ r=\frac{\sqrt{\,3\,}}{\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,3\,} \,}=\frac{\sqrt{\,3\,}(\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,3\,}\,)\,}{2} \\[2mm] \quad\ \ \,q=\frac{\sqrt{\,5\,}\,}{2}\ten 3r\ および\triangle\mbox{ORQ}において 三平方の定理より \\[2mm]\makebox[14.8zw][r] {$\mbox{OQ}=\sqrt{\,q^2+(3r)^2\,}$}=r\,\sqrt{\frac{\,45\,}{4}+9\,} \\[2mm] \hspace*{14.8zw} =\frac{\,9\,}{2}r \\[1mm]\hspace*{14.8zw} =\frac{\,9\,}{2}\times\frac{\sqrt{\,3\,}(\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,3\,}\,)\,}{2} \\[1mm]\hspace*{14.8zw} =\frac{\,\overset{(83)(84)(85)}{\defbox{$-27$}}\,} {\underset{(86)}{\tbox{4}}}+\frac{\,\overset{(87)}{\tbox{9}}\overset {\hspace*{10pt}(88)(89)}{\sqrt{\,\tbox{15}\,}}\,}{\underset{(90)}{\tbox{4}}} $ \end{document}