同志社大学 全学部<理> 2011年度 問4

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解答作成者: 中瀬古 佳史

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2011年度
問No 問4
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.1} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \setcounter{mondaibango}{3} \begin{waku} \begin{mondai}\h25 数列 \\ \mannaka{$a_1=\sqrt{2}$,$a_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$,$a_3=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}$,$a_4=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}}}$,$\cdots$} \\ は漸化式 \\ \mannaka{$a_{n+1}=(\sqrt{2})^{a_n} \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$} \\ を満たしている.$f(x)=(\sqrt{2})^x$ として次の問いに答えよ. \begin{shomon} $0 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $0 \leq x \leq 2$ における $f'(x)$ の最大値と最小値を求めよ. \end{shomon} \begin{shomon} $0<a_n<2 \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成立することを数学的帰納法を用いて示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $0<2-a_{n+1}<(\log{2})(2-a_n) \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成立することを示せ. \end{shomon} \begin{shomon} $\dlim{n \to \infty} \, a_n$ を求めよ. \end{shomon} \end{mondai} \end{waku} \noindent\kai \begin{shomonb} $f(x)$ は増加関数であるから,$x=0$ で{\bf 最小値} $(\sqrt{2})^{0}=\bd{1}$,$x=2$ で{\bf 最大値} $(\sqrt{2})^{2}=\bd{2}$ をとる. \end{shomonb} \begin{shomonb} $f'(x)=(\sqrt{2})^{x}\log{\sqrt{2}}=\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^{x}$ であり,これは増加関数であるから,\\ $x=0$ で{\bf 最小値} $\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^{0}=\bd{\dfrac{\log{2}}{2}}$,$x=2$ で{\bf 最大値} $\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^{2}=\bd{\log{2}}$ をとる. \end{shomonb} \begin{shomonb} \tokeiichi \,\, $n=1$ のとき,$0<a_1=\sqrt{2}<2$ より,不等式は成立する.\\ \quad \tokeini \,\, $n=k$ のとき,$0<a_k<2$ が成立すると仮定する.\\ \quad \kakkoichi より,$(\sqrt{2})^{0}<( \sqrt{2})^{a_k}<(\sqrt{2})^{2}$ \\ \quad $a_{k+1}=(\sqrt{2})^{a_k}$ より \quad $1<a_{k+1}<2$,\quad ゆえに \quad $0<a_{k+1}<2$ \\ \quad となり,$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ.\\ \quad \tokeiichi,\tokeini より,$0<a_n<2 \,\,\,(n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ \end{shomonb} \begin{shomonb} まず,\kakkosan より,$2-a_{n+1}>0 \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成り立つ.\\ 次に,\kakkosan より $0<a_n<2$ であるから,$f(x)=(\sqrt{2})^x$ の区間 $[a_n,\,\,2]$ に平均値の定理を用いて,\\ \betumath{$\begin{aligned}[t] & (\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^{a_n}=\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^c (2-a_n),\quad a_n<c<2 \\[-3pt] すなわち \quad & 2-a_{n+1}=\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^c (2-a_n),\quad a_n<c<2 \end{aligned}$} \\ となる $c$ が存在する.\\ $c<2$ より,$(\sqrt{2})^{c}<(\sqrt{2})^2=2$ であるから,\\ \betumath{$\begin{aligned}[t] 2-a_{n+1}=\dfrac{\log{2}}{2}(\sqrt{2})^c (2-a_n)<(\log{2})(2-a_n) \end{aligned}$} \\ 以上により,$0<2-a_{n+1}<(\log{2})(2-a_n) \,\,\, (n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\cdots)$ が成立する. \end{shomonb} \begin{shomonb} \kakkoshi をくり返し用いて \\ \betumath{$\begin{aligned}[t] 0<2-a_{n+1} &<(\log{2})(2-a_n) \\[-3pt] &<(\log{2})^2(2-a_{n-1}) \\[-3pt] &< \qquad \cdots\cdots \\[-3pt] &<(\log{2})^{n}(2-a_1) \\[-3pt] &=(\log{2})^{n}(2-\sqrt{2}) \end{aligned}$} \\ $0<\log{2}<1$ より \quad $\dlim{n \to \infty} \, (\log{2})^n(2-\sqrt{2})=0$ \\ よって,はさみうちの原理より \quad $\dlim{n \to \infty}(2-a_{n+1})=0$ \\ ゆえに,$\dlim{n \to \infty} \, a_{n+1}=2$ \\ したがって,$\bd{\dlim{n \to \infty} \,a_n=2}$ \end{shomonb} \end{document}