同志社大学 全学部<理> 2011年度 問3

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解答作成者: 中瀬古 佳史

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 全学部<理>
年度 2011年度
問No 問3
学部 理工学部 ・ 生命医科学部 ・ 文化情報学部<理>
カテゴリ 式と証明 ・ 三角関数 ・ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j,11pt]{jsarticlek} \usepackage{emath,emathMw,emathP,emathPp} \makeatletter \let\emdfrac\dfrac \let\emmod\mod \let\emdegreee\degree \let\emnagamaru\nagamaru \let\emMaru\Maru \let\dfrac\@undefined \let\mod\@undefined \let\degree\@undefined \let\nagamaru\@undefined \let\Maru\@undefined \makeatother \usepackage{ceo} % ここから \let\dfrac\emdfrac \let\mod\emmod \let\degreee\emdegree \let\nagamaru\emnagamaru \let\Maru\emMaru \setlength{\topmargin}{-5.4truemm} \setlength{\headheight}{0truemm}% ヘッダーの高さを確保 \setlength{\headsep}{0zh}% ヘッダーと本文領域の幅を確保 \setlength{\textheight}{257truemm}% その分,本文領域を低くする \setlength{\footskip}{10truemm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\evensidemargin}{-5.4truemm} \setlength{\marginparwidth}{0truemm} \setlength{\marginparsep}{0truemm} \setlength{\textwidth}{170truemm} \renewcommand{\baselinestretch}{1.1} \def\syutten#1#2{\hfill{}(#1 \,\, #2)} \def\syuttenn#1{\hfill{} (#1)} \def\h25{\hspace{.25zw}} \def\mannaka#1{\hfill{} #1 \hfill{}} \def\betumath#1{\hspace{3zw} #1} \def\douti{ \,\, \doti \,\,} \def\fb3{\fbox{   }} \begin{document} \setcounter{mondaibango}{2} \begin{waku} \begin{mondai}\h25 座標空間の原点Oを中心とする半径1の球面上に互いに異なる3点A,B,Cを取り,\\ \mannaka{$\alpha=\Kaku{\text{AOC}}$,$\beta=\Kaku{\text{BOC}}$,$\theta=\Kaku{\text{AOB}}$} \\ とおく.ただし,点Cの座標は $(0,\,\,0,\,\,1)$ とし,$0<\alpha \leq \pi$,$0 < \beta \leq \pi$,$0 < \theta \leq \pi$ とする.\\ 次の問いに答えよ. \begin{shomon} $\Vec{OA}=(a_1,\,\,a_2,\,\,a_3)$ とするとき,\\ \mannaka{$a_3$,$\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}$} \\ を $\alpha$ で表せ.また,$\Vec{OB}=(b_1,\,\,b_2,\,\,b_3)$ とするとき,\\ \mannaka{$b_3$,$\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$} \\ を $\beta$ で表せ. \end{shomon} \begin{shomon} 内積 $\Vec{OA} \cdot \Vec{OB}$ と $\cos{(\alpha+\beta)}$ の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい. \end{shomon} \begin{shomon} 上の \kakkoni の結果を用いて,$\theta$ と $\alpha+\beta$ の大小を判定せよ.ただし,等号成立条件は述べなくてよい. \end{shomon} \end{mondai} \end{waku} \noindent\kai \begin{shomonb} $\Vec{OA} \cdot \Vec{OC}=(a_1,\,\,a_2,\,\,a_3) \cdot (0,\,\,0,\,\,1)=a_3$ \\ 一方,$\Vec{OA} \cdot \Vec{OC}=\abs{\Vec{OA}} \abs{\Vec{OC}} \cos{\alpha}=1 \cdot 1 \cdot \cos{\alpha}=\cos{\alpha}$ \\ よって,$\bd{a_3=\cos{\alpha}} \, \cdots\cdots \, \mruichi$ \\ また,$\abs{\Vec{OA}}^2=1$ より,$a_1{}^2+a_2{}^2+a_3{}^2=1 \, \cdots\cdots \, \mruni$ \\ $\mruichi$ を $\mruni$ へ代入して,$a_1{}^2+a_2{}^2=1-\cos^2{\alpha}=\sin^2{\alpha}$ \\ $0<\alpha \leq \pi$ より $\sin{\alpha} \geq 0$ であるから,$\bd{\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}=\sin{\alpha}}$ \\ 同様に,$\bd{b_3=\cos{\beta}}$,$\bd{\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}=\sin{\beta}}$ \end{shomonb} \begin{shomonb} $\Vec{OA} \cdot \Vec{OB}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ \\ 一方 \kakkoichi より,$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=a_3b_3-\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$ \\ よって,$\Vec{OA} \cdot \Vec{OB}-\cos{(\alpha+\beta)}=(a_1b_1+a_2b_2)+\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$ \\ であり,$a_1b_1+a_2b_2$ と $-\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$ の大小を比べればよい.\\ \tokeiichi \,\, $a_1b_1+a_2b_2 \geq 0$ のとき,$a_1b_1+a_2b_2 \geq -\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$ は明らか.\\ \tokeini \,\, $a_1b_1+a_2b_2 \leq 0$ のとき,\\ \betumath{$\begin{aligned}[t] & \left(-\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2} \right)^2-(a_1b_1+a_2b_2)^2 \\[-3pt] = {} & (a_1{}^2+a_2{}^2)(b_1{}^2+b_2{}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2 \\[-3pt] = {} & a_1{}^2b_1{}^2+a_1{}^2b_2{}^2+a_2{}^2b_1{}^2+a_2{}^2b_2{}^2-a_1{}^2b_1{}^2-2a_1b_1a_2b_2-a_2{}^2b_2{}^2 \\[-3pt] = {} & a_1{}^2b_2{}^2-2a_1b_1a_2b_2+a_2{}^2b_1{}^2 \\[-3pt] = {} & (a_1b_2-a_2b_1)^2 \geq 0 \end{aligned}$} \\ よって,$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \leq \left(-\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}\right)^2$ \\ 両辺のかっこの中はともに0以下であるから,\\ \betumath{$a_1b_1+a_2b_2 \geq -\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}$} \\ 以上 \tokeiichi,\tokeini より,$\bd{\Vec{\textbf{OA}} \cdot \Vec{\textbf{OB}} \geq \cos{(\alpha+\beta)}}$ \end{shomonb} \begin{mawarikomi}{}{\includegraphics[width=60mm]{cos.eps}} \vspace{-2zh} \begin{shomonb} $\Vec{OA} \cdot \Vec{OB}=\abs{\Vec{OA}} \abs{\Vec{OB}}\cos{\theta}=1 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}=\cos{\theta}$ \\ であるから,\kakkoni より,$\cos{\theta} \geq \cos{(\alpha+\beta)}$ \\ ここで,$0<\theta \leq \pi$,$0<\alpha+\beta \leq 2\pi$ より,$\bd{\theta \leq \alpha+\beta}$ \end{shomonb} \end{mawarikomi} \end{document}