慶應義塾大学 薬学部 2011年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 薬学部
年度 2011年度
問No 問3
学部 薬学部(2008年以降)
カテゴリ 確率 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=210mm \topmargin=-20mm \oddsidemargin=-2mm \usepackage{amsmath,amssymb} \def\kybox#1{\framebox[9.8mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})}} \def\ky2box#1#2{\framebox[17mm][c]{(\makebox[1zw][c]{#1})\hspace* {1.2pt}(\makebox[1zw][c]{#2})}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \def\defbox#1{\framebox[11mm][c]{#1}} \def\tbox#1{\framebox[9mm][c]{#1}} \noindent\begin{tabular}{|c|} \hline\makebox[158mm][c]{}\\[-1mm]\quad\parbox{154mm} {\fboxrule=.8pt\fboxsep=.7mm以\hspace*{-.5pt}下\hspace*{-.5pt}の\hspace* {-.5pt}問\hspace*{-.5pt}の\ \raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(52)}}\,% ~\,\raisebox{1pt}{\framebox[9mm][c]{\small(65)}}\ に\hspace*{-.5pt}当\hspace* {-.5pt}て\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}適% \hspace*{-.5pt}切\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}数\hspace*{-.5pt}値\hspace* {-.5pt}ま\hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}マ\hspace*{-.5pt}イ% \hspace*{-.5pt}ナ\hspace*{-.5pt}ス\hspace*{-.5pt}符\hspace*{-.5pt}号\paalen{% \raisebox{.5pt}{$-$}}を\hspace*{-.5pt}マ\hspace*{-.5pt}ー\hspace*{-.5pt}ク% \hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}さ\hspace*{-.5pt}い. \\[4mm]% \hspace*{-5pt}「3個のさいころを同時に投げる」\hspace*{-1pt}試行をTとおき, 試行Tにおいて,\hspace*{-6pt}「3個のさいころの目\\[1mm]\hspace*{-1zw}和が,\,% 6,\ \ 9,\ \ 12のいずれかである」\hspace*{-1pt}事象を$A$とおく.試行Tを$n回繰り 返し行うとき,事象\\[1mm]\hspace*{-1zw}Aが奇数回起こる確率を\ p_n,\ \,偶数回\, \paalen{0回を含む}\,起こる確率を\ q_n\,とする.ただし,\ \ n$は正の \\[1mm]% \hspace*{-1zw}整数である.\\[2mm]% \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(1)}試行Tを1回行うとき,事象$Aが起こる確率 \ \dfrac{\kybox{52}}{\ \ky2box{53}{54}\ }\ である.\\[4mm] \hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l]{\!(2)}\, p_2=\dfrac{\ky2box{55}{56}} {\ \framebox[24mm][c]{(57)\hspace*{1pt}(58)\hspace*{1pt}(59)}\ },\ \ q_2=\dfrac{\ky2box{60}{61}}{\ \framebox[24mm][c]{(62)\hspace*{1pt}(63)\hspace* {1pt}(64)}\ }\ である.\\[4mm]\hspace*{-1zw}\makebox[2zw][l] {\!(3)}\, p_n>0.4995となる最小のnの値は\ \kybox{65}\ である.\\[1mm]% \quad ただし,\ \,\log_{10}2=0.3010,\ \,\log_{10}3=0.4771\ とする.$\\}\\ \hline \end{tabular} \quad \\[1mm]% (1)\ \ \,3個のさいころの目の和が$6,\ 9,\ 12のいずれかである組合せは \\ \hspace*{6zw} (1,\ 1,\ 4),\ (1,\ 2,\ 3),\ (2,\ 2,\ 2),\ (1,\ 2,\ 6),\ (1,\ 3,\ 5), \\ \hspace*{6zw} (1,\ 4,\ 4),\ (2,\ 2,\ 5),\ (2,\ 3,\ 4),\ (3,\ 3,\ 3),\ (6,\ 5,\ 1), \\ \hspace*{6zw} (6,\ 4,\ 2),\ (6,\ 3,\ 3),\ (5,\ 5,\ 2),\ (5,\ 4,\ 3),\ (4,\ 4,\ 4) \\[.5mm]% \quad であり,それぞれの組について目の出方は \\ \hspace*{5.7zw} \left.(2,\ 2,\ 2),\ (3,\ 3,\ 3),\ (4,\ 4,\ 4) \quad \right.\ \cdots\cdots\quad 1通りずつ \\[1mm] \hspace*{5.7zw} \left.\begin{array}{@{}l@{}} (1,\ 1,\ 4),\ (2,\ 2,\ 5),\ (3,\ 3,\ 6), \\ (4,\ 4,\ 1),\ (5,\ 5,\ 2) \end{array}\right\}\ \cdots\cdots\quad 3通りずつ \\[1mm] \hspace*{5.7zw} \left.\begin{array}{@{}l@{}} (1,\ 2,\ 3),\ (1,\ 2,\ 6),\ (1,\ 3,\ 5),\\ (2,\ 3,\ 4),\ (6,\ 5,\ 1),\ (6,\ 4,\ 2), \\ (5,\ 4,\ 3) \end{array}\right\} \ \cdots\cdots\quad 6通りずつ $ \\[1mm]% \quad となるから,試行Tを1回行うとき事象$Aが起こる確率aは \\ [1.2mm]\hspace*{6zw} a=\dfrac{\,1\times 3+3\times 5+3\hspace*{1pt}!\times 7 \,}{6^3}=\dfrac{\,3+15+42\,}{6^3}=\dfrac{\tbox{5}}{\,\tbox{18}\,} ^{\raisebox{-3pt}{\scriptsize(52)}}_{\raisebox{3pt}{\scriptsize(53)(54)}} $ \\[3mm](2)\ \ \,\raisebox{1pt}{$p_2^{}$}\,は,試行Tを2回行うとき事象$Aが1回だけ 起こる確率であるから,\displaystyle \\[1mm]\hspace*{6zw} p_2^{}=2\times\frac{5}{\,18\,}\times\Bigl(1-\frac{5}{\,18\,}\Bigr) =\frac{\tbox{65}}{\,\defbox{162}\,}^{\raisebox{-3pt}{\scriptsize(55)(56)}} _{\raisebox{3pt}{\scriptsize(57)(58)(59)}} \\[1mm] \quad この余事象の確率が\,\raisebox{1pt}{$q_2^{}$}\,であるから,\\[1mm] \hspace*{6zw} q_2^{}=1-p_2^{}=\frac{\tbox{97}}{\,\defbox{162}\,} ^{\raisebox{-3pt}{\scriptsize(60)(61)}} _{\raisebox{3pt}{\scriptsize(62)(63)(64)}} \\[3mm] (3)\ \ 試行\mbox{T}をn+1回行うとき,事象Aが奇数回起こるのは \\ \hspace*{5zw} \raisebox{1pt}{\footnotesize$\bullet$}\ \ n回目までにAが 奇数回起こり,\ \ n+1回目はAが起こらない \\ \hspace*{5zw} \raisebox{1pt}{\footnotesize$\bullet$}\ \ n回目までにAが 偶数回起こり,\ \ n+1回目はAが起こる \\[.3mm] \quad のいずれかの場合であるから,\\ \makebox[8.1zw][r]{$p_{n+1}$}=(1-a)p_n+a(1-p_n) \\[1.5mm] \hspace*{8.1zw} =\frac{4}{\,9\,}p_n+\frac{5}{\,18\,} \hfill \cdots\cdots\ \maru{1} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad\,\alpha=\frac{4}{\,9\,}\alpha+\frac{5}{\,18\,}\,を満たす定数\,\alpha\,を 求めると,\\[2mm] \hspace*{6zw} \frac{5}{\,9\,}\alpha=\frac{5}{\,18\,} \hspace*{3zw} \therefore\,\ \alpha=\frac{1}{\,2\,} \\[2mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \frac{1}{\,2\,}=\frac{4}{\,9\,}\times\frac{1} {\,2\,}+\frac{5}{\,18\,} \hfill\cdots\cdots\ \maru{2} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad \maru{1}-\maru{2}\,より \\[1mm]\hspace*{6zw} p_{n+1}-\frac{1}{\,2\,}=\frac{4}{\,9\,}\Bigl(p_n-\frac{1}{\,2\,}\Bigr) \\ [2mm]\quad\, \biggl\{p_n^{}-\frac{1}{\,2\,}\biggr\}\,は初項p_1^{}-\frac{1} {\,2\,}=\frac{5}{\,18\,}-\frac{1}{\,2\,}=-\frac{2}{\,9\,},\ \,公比\,\frac{4} {\,9\,}\,の等比数列であるから,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} p_n-\frac{1}{\,2\,}=-\frac{2}{\,9\,}\Bigl(\frac{4}{\,9\,} \Bigr)^{\!n-1}=-\frac{1}{\,2\,}\Bigl(\frac{4}{\,9\,}\Bigr)^{\!n} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ p_n=\frac{1}{\,2\,}\biggl\{1-\Bigl(\frac{\,4\,} {9}\Bigr)^{\!n}\biggr\} \\[2mm] \quad\, p_n>0.4995を満たすnの範囲を求めると,\\[1.5mm]\makebox[11.3zw][r] {$p_n>0.4995$}\iff 1-\Bigl(\frac{4}{\,9\,}\Bigr)^{\!n}>0.999 \\[1.5mm] \hspace*{11.3zw} \iff \Bigl(\frac{4}{\,9\,}\Bigr)^{\!n}<0.001 \\[1.5mm] \hspace*{11.3zw} \iff \Bigl(\frac{\,9\,}{4}\Bigr)^{\!n}>10^3 \\[1.5mm] \hspace*{11.3zw} \iff \log_{10}\Bigl(\frac{\,9\,}{4}\Bigr)^{\!n}>3 \\[2mm] \makebox[20.4zw][r]{$\iff n>\dfrac{3}{\,\log_{10}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{9}} {\,4\,}\tabtopsp{0mm}\,}$}=\frac{3}{\,2\hspace*{.5pt}(\log_{10}3-\log_{10}2) \,}\\[1.5mm]\hspace*{20.4zw} =\frac{3}{\,2\times(0.4771-0.3010)\,} \\[1.5mm] \hspace*{20.4zw} =\frac{\,30000\,}{3522} \\[2mm] \hspace*{20.4zw} =8.5\,\cdots \\[1.5mm] \quad となるから,最小のnは\ \underset{(65)}{\tbox{9}}\ である。$ \end{document}