西南学院大学 一般入試A(経、国) 2009年度 問3

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解答作成者: tmmt

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入試情報

大学名 西南学院大学
学科・方式 一般入試A(経、国)
年度 2009年度
問No 問3
学部 経済学部 ・ 国際文化学部
カテゴリ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\begin{itemize} \item[(1)] ${y'=3x^{2}-2}$だから点Pを通る接線の傾きは${3t^{2}-2}$となるので、求める接線の方程式は${y=\left(3t^{2}-2\right)\left(x-t\right)+t^{3}-2t \Leftrightarrow y= \left(3t^{2}-2\right)x-2t^{3}}$. \item[(2)] (1)で求めた直線は点${\left(a, \ b\right)}$を通るので${b=\left(3t^{2}-2\right)a-2t^{3}}$が成り立ち、\\ これを${t}$について整理すると、${2t^{3}-3at^{2}+2a+b=0}$. \\ 接線は2本のみ存在するので、この${t}$についての3次方程式(左辺を${f\left(t\right)}$と置く)は2つの異なる実数解を持つ.つまり、極大値または極小値が0となる. \\ そこで極大値・極小値を求めると、${f'\left(t\right)=6t^{2}-6at=6t\left(t-a\right)}$だから、 \\ ${t=0, \ a}$において${f\left(t\right)=0}$となればよい(ただし、${a \neq 0}$とする).    \begin{itemize} \item[ i)]${t=0}$のとき、${2a+b=0}$. \item[ ii)]${t=a}$のとき、${-a^{3}+2a+b=0}$となるが、点${\left(a, \ b\right)}$は曲線${C}$上にないので、${b \neq a^{3}-2a}$なので、これは不適    \end{itemize} よって、求める関係式は${b+2a=0, \ a \neq 0}$. \item[(3)] (2)より${b=-2a}$だから、${2t^{3}-3at^{2}+2a+b=0}$に代入すると、${2t^{3}-3at^{2}=0}$となり、これを解くと$\displaystyle{t=0, \ \frac{3}{2}a}$.また、(1)から接線の傾きは${3t^{2}-2}$であり、直線が直交することから、傾きの積は${-1}$となり、 \[\left(3 \cdot 0^{2}-2\right) \cdot \left(3 \cdot \left(\frac{3}{2}a\right) ^{2}-2 \right)=-1\] \[\Leftrightarrow -\frac{27}{2}a^{2}=-5\] \[\Leftrightarrow a^{2}=\frac{10}{27}\] \[\Leftrightarrow a= \pm \frac{\sqrt{30}}{9}\] ${b=-2a}$だから、求める${a, \ b}$は、$\displaystyle{a= \pm \frac{\sqrt{30}}{9} , \ b= \mp \frac{2 \sqrt{30} }{9} }$(複号同順). \end{itemize}