西南学院大学 一般入試A(経、国) 2009年度 問2

問題へ戻る

解答作成者: tmmt

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 西南学院大学
学科・方式 一般入試A(経、国)
年度 2009年度
問No 問2
学部 経済学部 ・ 国際文化学部
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\begin{itemize} \item [1] \begin{itemize} \item[(1)] 解が${1-i}$であることから代入して、    \begin{eqnarray} (与式)& \Leftrightarrow & \left(1-i\right) ^{3} +3 \left(1-i\right) ^{2} +a \left(1-i\right) +b=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \left(1-3i-3+i\right) +3 \left(1-2i-1\right) +a \left(1-i\right) +b=0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \left(a+b-2\right) + \left(-a-8\right) i=0 \nonumber    \end{eqnarray} ここで、${a}$と${b}$は実数だから、 \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} a+b-2=0 \\ -a-8=0 \end{array} \right. \end{displaymath} これを解いて、${a=-8, \ b=10}$.よって、\fbox{チ}=8、\fbox{ツテ}=10. \\ \item[(2)] 1つの解が${-1}$であることと、残りの2つの解が重解となることと、与式の${x^{3}}$の係数が${1}$であることから、与式は重解を${ \alpha }$とおくと、${ \left(x+1\right) \left(x- \alpha \right) ^{2} =0}$と因数分解できる.これを展開整理すると${x ^{3} + \left(-2 \alpha +1\right) x ^{2} + \left( \alpha ^{2} -2 \alpha \right) x+ \alpha ^{2} =0}$となり、これが与式と恒等式となるので、 \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} -2 \alpha +1=-5 \\ \alpha ^{2}-2 \alpha=c \\ \alpha ^{2}=d \end{array} \right. \end{displaymath} これを解いて、${c=3, \ d=9}$.よって、\fbox{ト}=3、\fbox{ナ}=9. \\ \end{itemize} \newpage \item[2]    \begin{eqnarray} & \ & \cos \theta = \sin \left( \theta +45 ^{ \circ } \right) \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} } \sin \theta + \frac{1}{ \sqrt{2} } \cos \theta \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta \label{A}    \end{eqnarray} (\ref{A})の両辺を2乗することで、    \begin{eqnarray} & \ & 1+2 \sin \theta \cos \theta =2 \cos ^{2} \theta \nonumber \\ & \Leftrightarrow & 2 \sin \theta \cos \theta =2 \cos ^{2} -1 \nonumber    \end{eqnarray} (\ref{A})の両辺を${\cos \theta}$で割ることで、\[\tan \theta = \sqrt{2} -1 \] $\displaystyle{\cos ^{2} \theta = \frac{1}{ \tan ^{2} \theta +1}}$から、 \[ \cos ^{2} \theta = \frac{1}{ 4-2 \sqrt{2} } \] 上記を用いて、    \begin{eqnarray} \cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta &=& 2 \cos ^{2} \theta -1 \nonumber \\ & = & \frac{1}{2-\sqrt{2}} -1 \nonumber \\ & = & \frac{2+\sqrt{2}}{2}-1 \nonumber \\ & = & \frac{\sqrt{2}}{2} \nonumber    \end{eqnarray} よって、\fbox{ニ}=2、\fbox{ヌ}=2. \\    \begin{eqnarray} \sin ^{4} \theta + \cos ^{4} \theta & =& \left( \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta \right) ^{2} -2 \left( \sin \theta \cos \theta \right) ^{2} \nonumber \\ & = & 1- \frac{1}{2} \left(2 \sin \theta \cos \theta \right) ^{2} \nonumber \\ & = & 1- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \nonumber \\ & = & \frac{3}{4} \nonumber    \end{eqnarray} よって、\fbox{ネ}=3、\fbox{ノ}=4. \\ \[\tan ^{2} \theta = 3 - 2 \sqrt{2} \] よって、\fbox{ハ}=3、\fbox{ヒ}=2、\fbox{フ}=2. \end{itemize}