東京工業大学 後期 2010年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 後期
年度 2010年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=140mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \def\upleft{\begin{picture}(12,12) \put(1, 7.8){\arc{17}{0}{1.5}} \path(8.2, 5.5)(9.55, 7.8)(10.2, 5.3) \end{picture}} \def\upright{\begin{picture}(12,12) \put(10,-1){\arc{17}{-3.1}{-1.6}} \path(7.5, 8.3)(10, 7.7)(7.8, 6.2) \end{picture}} \def\downleft{\begin{picture}(12,12) \put(10, 7.8){\arc{17}{1.6}{3.1}} \path(7.8, 0.7)(10, -0.9)(7.5, -1.5) \end{picture}} \def\downright{\begin{picture}(12,12) \put(1,-1){\arc{17}{-1.55}{0}} \path(8.2, 1.3)(9.55, -1)(10.2, 1.5) \end{picture}} \newcommand{\tabtopsp}[1]{\vbox{\vbox to#1{}\vbox to1zw{}}} \renewcommand{\thepage} {\raisebox{1pt}{---}\makebox[2zw][c]{\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{136mm}{\quad\,座\hspace*{1.5pt}標\hspace* {1.5pt}平\hspace*{1.5pt}面\hspace*{1.5pt}上\hspace*{1.5pt}で$y=(\log x)^2\ \, (\hspace*{1pt}x\,\mbox{\Large$>$}\,0\hspace*{1pt})の\hspace*{1.5pt}表\hspace* {1.5pt}す\hspace*{1.5pt}曲\hspace*{1.5pt}線\hspace*{1.5pt}をCと\hspace*{1.5pt}し, \ \ \alpha\,\mbox{\Large$>$}\,0に\hspace*{1.5pt}対\hspace*{1.5pt}し,\\[1mm] \,点\hspace*{1pt}(\hspace*{.5pt}\alpha,\ (\log\alpha)^2)\hspace*{1pt} におけるCの接線をL(\alpha)で表す.\\[8mm] \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{\large 1})}\quad Cのグラフの概形を描け.\\[8mm] \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{\large 2})}\quad CとL(\alpha)との共通点 の個数をn(\alpha)とする.\ \ n(\alpha)を求めよ.\\[8mm] \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{\large 3})}\quad 0\,\mbox{\Large$<$}\, \alpha\,\mbox{\Large$<$}\,1とし,\ \ CとL(\alpha)およびx軸とで囲まれる領域の 面積をS(\alpha)とす\\[1mm]\quad る.\ \ S(\alpha)を求めよ.$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ (1)\ \ \,f(x)=(\log x)^2\,とおくと,\\[1mm] \hspace*{6zw} f'(x)=2(\log x)(\log x)'=\frac{\,2\log x\,}{x} \\[1.5mm] \hspace*{6zw} f''(x)=2\ten\frac{\,\raisebox{2.5mm}{$\dfrac{1}{\,x\,}\ten x -(\log x)\ten 1$}\,}{x^2}=\frac{\,2(1-\log x)\,}{x^2} \\[2mm] \quad であり,符号を調べると \\ \hspace*{6zw} f'(x)>0 \iff \log x>0=\log 1 \iff x>1 \\ \hspace*{6zw} f''(x)>0 \!\iff\! 1-\log x>0 \!\iff\! \log x<1=\log e \!\iff\! x<e \\[.5mm] \quad となるから,\ \ f(x)の増減は \\[1.5mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & (0) & & 1 & & e & &\! (+\infty) \!\\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & & + & \\ \hline f''(x) & & + & & + & 0 & - & \\ \hline\tabtopsp{2.5mm} f(x) & (+\infty) & \downleft & \mbox{\small 極小} \atop\tabtopsp{-.5mm}\mbox{0} & \upleft & \mbox{\small 変\makebox[8pt][c] {曲}点}\atop\tabtopsp{-.5mm}\mbox{1} & \upright & (+\infty) \\[2mm] \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad よって,\ \ Cのグラフの概形は次図のようになる。\\ \hspace*{10zw} \begin{picture}(120,75) \path(-18,0)(115,0) \path(110, -1.5)(115,0)(110, 1.5) \put(109,-8){$x$} \path(0,-18)(0,70) \path(-1.5, 65)(0,70)(1.5, 65) \put(-8,65){$y$} \qbezier(2,70)(6, 0.2)(20, 0.2) \qbezier(20, 0.2)(35, 0.2)(55,20) \qbezier(55,20)(85,50)(110,66) \put(-9,-9){\small O} \put(17.5,-9){\small 1} \allinethickness{.2pt}\dashline[30]{1.5}(55,0)(55,20)(0,20) \put(52,-8){$e$} \dashline[30]{1.5}(25,-10)(55,20)(85,50) \put(-8,17){\small 1} \put(140,0){(答)} \end{picture} \\[10mm] (2)\ \ 接線L(\alpha)の方程式は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} y=\frac{\,2\log\alpha\,}{\alpha}(x-\alpha)+(\log\alpha)^2 \\ [2mm]\quad であることを考え,\\[1mm] \hspace*{6zw} g(x)=f(x)-\biggl\{\frac{\,2\log\alpha\,}{\alpha}(x-\alpha) +(\log\alpha)^2\biggr\} \\[2mm] \quad とおく。\\[1mm] \hspace*{6zw} g\hspace*{1pt}'(x)=f'(x)-\frac{\,2\log\alpha\,}{\alpha} =f'(x)-f'(\alpha) \\[1.7mm] \quad の符号を調べるためにf'(x)の増減を調べると,\\[1.2mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & (0) & & \mbox{\large$e$} & & (+\infty)\\ \hline f''(x) & & + & 0 & - & \\ \hline\tabtopsp{3mm} f'(x) & (-\infty) & \nearrow & \mbox{\small 極大}\atop\tabtopsp{1.3mm}\mbox{\small$ \dfrac{\,2\,}{\mbox{\large$e$}}$} & \searrow & (+\infty) \\[5mm] \hline \end{array} \\[1.5mm] \quad\, y=f'(x)のグラフの概形は \\ \hspace*{8zw} \begin{picture}(100,44) \path(-18,0)(120,0) \path(115, -1.5)(120,0)(115, 1.5) \put(114,-8){$x$} \path(0,-50)(0,40) \path(-1.5, 35)(0,40)(1.5, 35) \put(-8,35){$y$} \put(-9,-9){\small O} \qbezier(3,-50)(5,-15)(15,0) \qbezier(15,0)(23,12) (45,12) \qbezier(45,12)(57,12)(75,7) \qbezier(75,7)(88,3)(119,2) \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(45,0)(45,12)(0,12) \put(42,-8){$e$} \put(-10,9){$\frac{2}{\,e\,}$} \put(15,-9){\small 1} \end{picture} \\[18mm] \quad y=f'(x)とy=f'(\alpha)の位置関係からg\hspace*{1pt}'(x)=f'(x)-f'(\alpha) の符号を判断して \\[1mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{i})\ \ 0<\alpha\leqq 1のとき \\[1.2mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & (0) & & \alpha & & (+\infty) \\ \hline g\hspace*{1pt}'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline\tabtopsp{2mm} g(x) & (+\infty) & \searrow & \mbox{\small 極小}\atop\tabtopsp{-.7mm} \mbox{0} & \nearrow & (+\infty) \\[2mm]\hline \end{array} \\[2mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{ii})\ \ 1<\alpha<eのとき \\[1.2mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & (0) & & \alpha & & \beta & & (+\infty) \\ \hline g\hspace*{1pt}'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline\tabtopsp{2mm} g(x) & (+\infty) & \searrow & \mbox{\small 極小}\atop \tabtopsp{-.7mm}\mbox{0} & \nearrow & 極大 & \searrow & (-\infty) \\[2mm] \hline \end{array} \\[2mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{i\hspace*{-.5pt}i\hspace*{-.5pt}i})\ \ \alpha=eのとき \\ [1.2mm]\hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & (0) & & \alpha & & (+\infty) \\ \hline g\hspace*{1pt}'(x) & & - & 0 & - & \\ \hline g(x) & (+\infty) & \searrow & 0 & \searrow & (-\infty) \\ \hline \end{array} \\[2mm] \ \ (\makebox[2mm][c]{iv})\ \ \alpha>eのとき \\[1.2mm] \hspace*{6zw} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & (0) & & \beta & & \alpha & & (+\infty) \\ \hline g\hspace*{1pt}'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline\tabtopsp{2mm} g(x) & (+\infty) & \searrow & 極小 & \nearrow & \mbox{\small 極大}\atop\tabtopsp{-.7mm}\mbox{0} & \searrow & (-\infty) \\ [2mm]\hline \end{array} \\[2mm] \quad\, y=g(x)のグラフとx軸の共有点のx座標はCとL(\alpha)の共有点のx座標である\\ \quad から,\ \ CとL(\alpha)の共有点の個数n(\alpha)は \\[1mm] \hspace*{6zw} n(\alpha)=\biggl\{\!\begin{array}{ll} 1 & (0<\alpha\leqq 1, \ \,\alpha=e) \\ 2 & (1<\alpha<e,\ \,\alpha>e) \end{array}\ \ \ (答) \\[4mm] \ \ \paalen{注}\ \ \raisebox{.5pt}{(1)}で求めたCの概形から直観的に共有点の個数 n(\alpha)は予想できるが,\\ \qquad\ 論理的にはCとL(\alpha)の共有状況を図から 判断できないので,上のように\\ \qquad\ 論じるしかないだろう。ただ,わざわざ \raisebox{.5pt}{(1)}でCを図示させているので,\\ \qquad\ 出題者は 直観的に答えるだけでよいというつもりだったかもしれない。\\[4mm] (3)\ \ 0<\alpha<1のとき,\ \ L(\alpha)の方程式においてy=0とおくと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 0=\frac{\,2\log\alpha\,}{\alpha}(x-\alpha)+(\log\alpha)^2 \\ [1.5mm]\hspace*{6zw} 2(x-\alpha)+\alpha\log\alpha=0 \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ x=\alpha-\frac{\,\alpha\,}{2}\log\alpha \\[2mm] \quad\, CとL(\alpha)およびx軸とで囲まれる領域の面積S(\alpha)は \\[1.5mm] \makebox[8.2zw][r]{$S(\alpha)$}=\int_\alpha^{\hspace*{1pt}1} (\log x)^2\,dx -\frac{1}{\,2\,}\Bigl(-\frac{\,\alpha\,}{2}\log\alpha\Bigr)(\log\alpha)^2 \\ [1.5mm]\hspace*{8.2zw} =\Bigl[\,x(\log x)^2\,\Bigr]_\alpha^1-\int_\alpha ^{\hspace*{1pt}1} x\ten(2\log x)\ten\frac{1}{\,x\,}\,dx +\frac{\,\alpha\,}{4}(\log\alpha)^3 \\[1.5mm] \hspace*{8.2zw} =-\alpha(\log\alpha)^2-2\Bigl[\,x(\log x-1)\,\Bigr]_\alpha^1 +\frac{\,\alpha\,}{4}(\log\alpha)^3 \\[1.5mm]\hspace*{8.2zw} =\frac{\,\alpha\,}{4}(\log\alpha)^3-\alpha\hspace*{.5pt}(\log\alpha)^2 +2\hspace*{.5pt}\alpha\log\alpha-2\hspace*{.3pt}\alpha+2 \ \ \ (答) $ \end{document}