西南学院大学 一般入試A(神、商、人) 2010年度 問3

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解答作成者: tmmt

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入試情報

大学名 西南学院大学
学科・方式 一般入試A(神、商、人)
年度 2010年度
問No 問3
学部 神学部 ・ 商学部 ・ 人間科学部
カテゴリ 二次関数 ・ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\begin{itemize} \item[(1)] ${y=f \left(x\right)}$は2次関数であることから、${f \left(x\right) =ax ^{2} +bx+c}$とおけて、これが、${ \left(0,-13\right) , \left(1,-6\right) , \left(3,2\right) }$を通ることから、   \begin{eqnarray}   -13 &=& c \nonumber \\   -6 &=& a+ b+c \nonumber \\   2 &=& 9a+3b+c \nonumber   \end{eqnarray} が成り立ち、これを解くと、${a=-1, b=8, c=-13}$となるので、${f \left(x\right)=-x^{2}+8x-13}$. \item[(2)] ABCDは以下の図のような位置にあり、点Cの座標は${ \left(t,-t ^{2} +8t-13\right) }$で、点Dは${x=4}$に関して対称だから、CDの長さは${2|t-4|}$であり、${t>4}$から、${CD=2t-8}$ \\ ゆえに、${S= \left(2t-8\right) \left(-t ^{2} +8t-13\right) =-2t ^{3} +24t ^{2} -90t+104}$. \hspace{5mm} \includegraphics[width=5cm]{3-a.eps} \item[(3)] ${f \left(x\right)=-x^{2}+8x-13}$の${x>4}$における${x}$軸との交点は${-x^{2}+8x-13=0}$を解くことで、${4+ \sqrt{3}}$だから、${t}$の取りうる範囲は${4<t<4+ \sqrt{3}}$で、この範囲において${S}$の増減表を書くと、${S'=-6t ^{2} +48t-90=-6 \left(t ^{2} -8t+15\right) =-6 \left(t-3\right) \left(t-5\right) }$だから、 \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $ \begin{array}{| c|| c| c| c| c| c|}\hline t & 4 & \cdots  & 5 & \cdots & 4+ \sqrt{3} \\ \hline S' & / & + & 0 & - & / \\ \hline S & / & \nearrow & 最大値 & \searrow & / \\ \hline \end{array} $ \vspace{2mm} \\ となり、求める最大値は${t=5}$のときで、その時の${S= \left(10-8\right) \left(-25+40-13\right) =4}$. \end{itemize}