センター試験 数学Ⅱ・B 2011年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2011年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\ZK#1{\left|#1\right|} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ \quad 四角\ruby{錘}{すい}OABCDにおいて,三角形OBCと三角形OADは合同で,$\text{OB}=1,\,\text{BC}=2,\,$\\ $\text{OC}=\dsqrt{3}$であり,底面の四角形ABCDは長方形である。$\text{AB}=2r$とおき,$\Vec{OA}=\vec{a},\,$\\ $\Vec{OB}=\vec{b},\,\Vec{OC}=\vec{c}$とおく。 \begin{center} \includegraphics[width=10cm,clip]{center2011-2b-4mondai1.eps} \end{center} $\Vec{OD}$を$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$を用いて表すと$\Vec{OD}=\overrightarrow{\FBA{ア}}-\overrightarrow{\FBA{イ}}+\vec{c}$である。辺ODを$1:2$に内分する点をLとすると \[\ake \Vec{AL}=-\frac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}\vec{a}-\frac{\FBA{オ}}{\FBAS{エ}}\vec{b}+\frac{\FBA{カ}}{\FBAS{エ}}\vec{c}\] となる。\\ \quad さらに辺OBの中点をM,3点A,L,Mの定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と辺OCとの交点をNとする。点Nは平面$\alpha$上にあることから,$\Vec{AN}$は実数$s,\,t$を用いて$\Vec{AN}=s\Vec{AL}+t\Vec{AM}$と表されるので \[\ake\Vec{ON}=\SK{\FBA{キ}-\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}s-t}\vec{a}+\SK{-\frac{s}{\FBA{コ}}+\frac{t}{\FBA{サ}}}\vec{b}\] \[\ake\hspace{4zw}+\frac{s}{\FBA{シ}}\vec{c}\] となる。一方,点Nは辺OC上にもある。これらから,$\Vec{ON}=\dfrac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}\vec{c}$となる。\\ \quad また,$\vns{a}{b}=\FBA{ソ}-\FBA{タ}r^2,\,\vns{b}{c}=\FBA{チ},\,\vns{a}{c}=\FBA{ツテ}r^2$である。よって,$\Vns{AM}{MN}$を計算すると,$\text{AB}=\sqrt{\FBA{ト}}$のとき,直線AMと直線MNは垂直になることがわかる。 \end{jituwaku} \h\kai\quad 四角形ABCDは長方形であるから\quad $\Vec{AB}=\Vec{DC}$ \[\Vec{OB}-\Vec{OA}=\Vec{OC}-\Vec{OD} \Yueni \Vec{OD}=\vec{\bd{a}}-\vec{\bd{b}}+\vec{c}\GT{アイ}\] \ymawarikomi{14}{9}{4.5cm}{center2011-2b-4kaitou1.eps}{3.5cm}{30}% 辺ODを$1:2$に内分する点Lについて \[\Vec{OL}=\frac{1}{3}\Vec{OD}=\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})\] \[\Vec{AL}=\Vec{OL}-\Vec{OA}=-\frac{\bd{2}}{\bd{3}}\vec{a}-\frac{\bd{1}}{3}\vec{b}+\frac{\bd{1}}{3}\vec{c}\GT{ウ~カ}\] さらに辺OBの中点Mについて \[\Vec{OM}=\frac{1}{2}\vec{b}\] \[\Vec{AM}=\Vec{OM}-\Vec{OA}=-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\] ここで3点A,L,Mを通る平面$\alpha$と辺OCの交点をNとすると,点Nは平面$\alpha$上にあるので \[\Vec{AN}=s\Vec{AL}+t\Vec{AM}\quad (s,\,tは実数)\] と表せる。したがって \[\Vec{ON}-\Vec{OA}=s\SK{-\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}}+t\SK{-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}}\] \[\yueni\quad \Vec{ON}=\SK{\bd{1}-\frac{\bd{2}}{\bd{3}}s-t}\vec{a}+\SK{-\frac{s}{\bd{3}}+\frac{t}{\bd{2}}}\vec{b}+\frac{s}{\bd{3}}\vec{c}\GT{キ~シ}\Cdots\maruichi\] となる。一方$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$は同一平面上になく,どれも$\vec{0}$でないことに注意すると,点Nは辺OC上にもあることより$\maruichi$の$\vec{a},\,\vec{b}$の係数は0となるので \[1-\frac{2}{3}s-t=-\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=0 \Yueni s=\frac{3}{4},\,t=\frac{1}{2}\] このとき$\maruichi$より\quad $\Vec{ON}=\dfrac{\bd{1}}{\bd{4}}\vec{c}\GT{スセ}$ 次に$\vabs{\vec{a}}=\vabs{\vec{b}}=1,\,\vabs{\vec{c}}=\dsqrt{3}$であり,$\vabs{\Vec{AB}}=2r$より$\vabs{\vec{b}-\vec{a}}^2=(2r)^2$となるから \[1-2\vns{a}{b}+1=4r^2 \Yueni \vns{a}{b}=\bd{1}-\bd{2}r^2\GT{ソタ}\] 同様に$\vabs{\Vec{BC}}=2$より$\vabs{\vec{c}-\vec{b}}^2=2^2$となるから \[1-2\vns{b}{c}+3=4 \Yueni \vns{b}{c}=\bd{0}\GT{チ}\] また四角形ABCDは長方形であるから$\vabs{\Vec{AC}}^2=\vabs{\Vec{AB}}^2+\vabs{\Vec{BC}}^2=4r^2+4$となり \[\vabs{\vec{c}-\vec{a}}^2=4r^2+4\] \[3-2\vec{a}\mdot\vec{c}+1=4r^2+4 \Yueni \vec{a}\mdot\vec{c}=\bd{-2}r^2\GT{ツテ}\] ここで \[\Vec{MN}=\Vec{ON}-\Vec{OM}=-\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{4}\vec{c}\] であるから \[\Vns{AM}{MN}=\SK{-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}}\cdot\SK{-\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{4}\vec{c}}\] \[\hphantom{\Vns{AM}{MN}}=\frac{1}{2}\vns{a}{b}-\frac{1}{4}\vabs{\vec{b}}^2-\frac{1}{4}\vec{a}\mdot\vec{c}+\frac{1}{8}\vns{b}{c}\] \[\hphantom{\Vns{AM}{MN}}=\frac{1}{2}(1-2r^2)-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\cdot(-2r^2)=\frac{1}{2}r^2-\frac{1}{4}\] 直線AMと直線MNが直交するのは$\Vns{AM}{MN}=0$のときであり \[\frac{1}{2}r^2-\frac{1}{4}=0 \Yueni r=\frac{\dsqrt{2}}{2}\] このとき\quad $\text{AB}=2r=\dsqrt{\bd{2}}\GT{ト}$ \end{document}