センター試験 数学Ⅱ・B 2011年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2011年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\gun{\makebox[2zw][c]{$\left|\vphantom{\int{2}{2}}\right.$}}%群数列の仕切り \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ \quad 数直線上で点Pに実数$a$が対応しているとき,$a$を点Pの座標といい,座標が$a$である点PをP($a$)で表す。\\ \quad 数直線上に点P$_1(1)$,P$_2(2)$をとる。線分P$_1$P$_2$を$3:1$に内分する点をP$_3$とする。一般に,自然数$n$に対して,線分P$_n$P$_{n+1}$を$3:1$に内分する点をP$_{n+2}$とする。点P$_n$の座標を$x_n$とする。\\ \quad $x_1=1,\,x_2=2$であり,$x_3=\dfrac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}$である。数列$\CK{x_n}$の一般項を求めるために,この数列の階差数列を考えよう。自然数$n$に対して$y_n=x_{n+1}-x_n$とする。 \[\ake y_1=\FBA{ウ},\,y_{n+1}=\frac{\FBA{エオ}}{\FBA{カ}}y_n\quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] である。したがって,$y_n=\SK{\dfrac{\FBAS{エオ}}{\FBAS{カ}}}^{\raisebox{-5pt}{\,\FBD{キ}}}\quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$であり \[\ake x_n=\frac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}-\frac{\FBA{コ}}{\FBAS{ケ}}\SK{\frac{\FBAS{エオ}}{\FBAS{カ}}}^{\raisebox{-5pt}{\,\FBD{サ}}}\quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] となる。ただし,\FBA{キ},\FBA{サ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。\\ \\ \quad \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $n-1$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $n$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $n+1$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarusan}\quad $n+2$}\\ \\ \quad 次に,自然数$n$に対して$S_n=\sum_{k=1}^{n}k\abs{y_k}$を求めよう。$r=\abs{\dfrac{\FBAS{エオ}}{\FBAS{カ}}}$とおくと \[\ake S_n-rS_n=\sum_{k=1}^{\FBD{シ}}r^{k-1}-nr^{\,\FBD{ス}}\quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\] であり,したがって \[\ake S_n=\frac{\FBA{セソ}}{\FBA{タ}}\CK{1-\SK{\frac{1}{\FBA{チ}}}^{\raisebox{-5pt}{\,\FBD{ツ}}}}-\frac{n}{\FBA{テ}}\SK{\frac{1}{\FBA{ト}}}^{\raisebox{-5pt}{\,\FBD{ナ}}}\] となる。ただし,\FBA{シ},\FBA{ス},\FBA{ツ},\FBA{ナ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。\\ \\ \quad \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarurei}\quad $n-1$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruichi}\quad $n$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamaruni}\quad $n+1$} \makebox[9zw][l]{\NM{\nagamarusan}\quad $n+2$} \end{jituwaku} \h\kai\quad P$_n(x_n)$の定義から \[x_3=\frac{1x_1+3x_2}{3+1}=\frac{1\cdot1+3\cdot2}{4}=\frac{\bd{7}}{\bd{4}}\GT{アイ}\] また一般に \[x_{n+2}=\dfrac{1x_n+3x_{n+1}}{3+1}=\dfrac{x_n+3x_{n+1}}{4}\] が成り立つので,$y_n=x_{n+1}-x_n$とおくと \[y_1=x_2-x_1=2-1=\bd{1}\GT{ウ}\] \[y_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{x_n+3x_{n+1}}{4}-x_{n+1}=-\frac{1}{4}(x_{n+1}-x_n)=\bd{-}\frac{\bd{1}}{\bd{4}}y_n\GT{エオカ}\] よって$\CK{y_n}$は初項1,公比$-\dfrac{1}{4}$の等比数列であるから \[y_n=\SK{-\frac{1}{4}}\shisu{n-1\,\nagamarureib}\GT{キ}\] $n\geq2$のとき \[x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}y_k=1+\frac{1-\SK{-\dfrac{1}{4}}\shisu{n-1}}{1-\SK{-\dfrac{1}{4}}}=\frac{\bd{9}}{\bd{5}}-\frac{\bd{4}}{5}\SK{-\frac{1}{4}}\shisu{n-1\,\nagamarureib}\GT{ク~サ}\] \[\hspace{20zw}(これはn=1のときも正しい。)\] \quad 次に$r=\abs{-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{4}$とおくと,$S_n=\sum_{k=1}^{n}k\abs{y_k}=\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}$となり \begin{center} \setlength{\tabcolsep}{2pt} \begin{tabular}{rl} $S_n$ & $=1\cdot 1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}$\\ $-\murpa\quad rS_n$ & $=\hspace{30.2pt}1r+2r^2+\cdots+(n-1)r^{n-1}+nr^n$\\ \hline \\[-12pt] $S_n-rS_n$ & $=1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n$\\ & $=\sum_{k=1}^{\quad n\,{\scriptsize\nagamaruichib}}r^{k-1}-nr^{n\,{\scriptsize\nagamaruichib}}\GT{シス} \quad (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ \end{tabular} \hspace*{9zw} \end{center} $r=\dfrac{1}{4}$を代入して \[\frac{3}{4}S_n=\frac{1-\SK{\dfrac{1}{4}}\shisu{n}}{1-\dfrac{1}{4}}-n\SK{\frac{1}{4}}\shisu{n}=\frac{4}{3}\CK{1-\SK{\frac{1}{4}}\shisu{n}}-n\SK{\frac{1}{4}}\shisu{n}\] \[\yueni\quad S_n=\frac{\bd{16}}{\bd{9}}\CK{1-\SK{\frac{1}{\bd{4}}}\shisu{n\,\nagamaruichib}}-\frac{n}{\bd{3}}\SK{\frac{1}{\bd{4}}}\shisu{n-1\,\nagamarureib}\GT{セ~ナ}\]  \end{document}