センター試験 数学Ⅱ・B 2011年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2011年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ \quad 座標平面上で,放物線$y=x^2$を$C$とする。\\ \quad 曲線$C$上の点Pの$x$座標を$a$とする。点Pにおける$C$の接線$\ell$の方程式は \[\ake y=\FBA{アイ}x-a^{\,\FBD{ウ}}\] である。$a\neq0$のとき直線$\ell$が$x$軸と交わる点をQとすると,Qの座標は \[\ake \SK{\frac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}},\,\FBA{カ}}\] である。\\ \quad $a>0$のとき,曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とすると \[\ake S=\frac{a^{\,\FBD{キ}}}{\FBA{クケ}}\] である。\\ \quad $a<2$のとき,曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を$T$とすると \[\ake T=-\frac{a^3}{\FBA{コ}}+\FBA{サ}a^2-\FBA{シ}a+\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}\] である。\\ \quad $a=0$のときは$S=0$,$a=2$のときは$T=0$であるとして,$0\leq a \leq2$に対して$U=S+T$とおく。$a$がこの範囲を動くとき,$U$は$a=\FBA{ソ}$で最大値$\dfrac{\FBA{タ}}{\FBA{チ}}$をとり,$a=\dfrac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}$で最小値$\dfrac{\FBA{ト}}{\FBA{ナニ}}$をとる。 \end{jituwaku} \ymawarikomi{14}{9}{4.5cm}{center2011-2b-2kaitou1.eps}{4.1cm}{30}% \kai\quad $y=x^2$について$y'=2x$であるから,曲線$C$の点P$(a,\,a^2)$における接線$\ell$の方程式は \[y=2a(x-a)+a^2 \Yueni y=\bd{2a}x-a\bd{^2}\GT{アイウ}\] $a\neq0$のとき,$y=0$とすると \[2ax=a^2 \Yueni x=\frac{a}{2}\] よって$\ell$と$x$軸の交点Qの座標は\quad Q$\SK{\dfrac{\bd{a}}{\bd{2}},\,\bd{0}}\GT{エオカ}$ ここでH$(a,\,0)$とおくと,$a>0$のとき \[S=\dint{0}{a}x^2\;dx-\Sankaku{PQH}\] \[\hphantom{S}=\tint{\frac{x^3}{3}}{0}{a}-\frac{1}{2}\cdot\SK{a-\frac{a}{2}}\cdot a^2=\frac{a\bd{^3}}{\bd{12}}\GT{キクケ}\] また$a<2$のとき \[T=\dint{a}{2}\CK{x^2-(2ax-a^2)}dx\] \[\hphantom{T}=\dint{a}{2}(x-a)^2dx\] \[\hphantom{T}=\tint{\frac{1}{3}(x-a)^3}{a}{2}\] \[\hphantom{T}=\frac{1}{3}(2-a)^3=-\frac{a^3}{\bd{3}}+\bd{2}a^2-\bd{4}a^2+\frac{\bd{8}}{\bd{3}}\GT{コ~セ}\] したがって \[U=S+T=-\frac{1}{4}a^3+2a^2-4a+\frac{8}{3}\] \[\frac{dU}{da}=-\frac{3}{4}a^2+4a-4=-\frac{1}{4}(3a-4)(a-4)\] \hmawarikomi{17.5}{7}{\RESETKEYA \setkeys{zogen}{% hensu=a ,ranaa=0, ranac=\dfrac{4}{3},ranae=2, kansub=\dfrac{dU}{da},ranbb=-,ranbc=0,ranbd=+, kansuc=U,ranca=\dfrac{8}{3}, rancb=\searrow, rancc=\dfrac{8}{27}, rancd=\nearrow, rance=\dfrac{2}{3}} \zogen(3,5)}{0.4cm}{20.5}% よって$0 \leq a \leq 2$における$U$の増減は右の表のようになり, $a=\bd{0}\GT{ソ}$で最大値$\dfrac{\bd{8}}{\bd{3}}\GT{タチ}$,$a=\dfrac{\bd{4}}{\bd{3}}\GT{ツテ}$のとき最小値$\dfrac{\bd{8}}{\bd{27}}\GT{トナニ}$をとる。 \end{document}