センター試験 数学Ⅰ・A 2011年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2011年度
問No 問3
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt {\large \gt{第3問}}(配点 \; 30)\\ \quad 点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは,それぞれ \[\ake \text{AB}=\dsqrt{7},\,\text{BC}=2\dsqrt{7},\,\text{CD}=\dsqrt{3},\,\text{DA}=2\dsqrt{3}\] であるとする。 \begin{shomon} $\Kaku{ABC}=\theta,\,\text{AC}=x$とおくと,$\Sankaku{ABC}$に着目して \[\ake x^2=\FBA{アイ}-28\cos\theta\] となる。また,$\Sankaku{ACD}$に着目して \[\ake x^2=15+\FBA{ウエ}\cos\theta\] となる。よって,$\cos\theta=\dfrac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}$,$x=\sqrt{\FBA{キク}}$であり,円Oの半径は$\sqrt{\FBA{ケ}}$である。\\ \quad また,四角形ABCDの面積は$\FBA{コ}\sqrt{\FBA{サ}}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると,\\ $\Kaku{OAE}=\DO{\FBA{シス}}$である。また,線分OEと辺ADの交点をFとすると,\\ $\Kaku{AFE}=\DO{\FBA{セソ}}$であり, \[\ake \text{OF}\cdot\text{OE}=\FBA{タ}\] である。\\ \quad さらに,辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに垂線を下ろし,直線OGとの交点をHとする。\\ \quad 4点E,G,\FBA{チ}は同一円周上にある。\FBAS{チ}に当てはまるものを次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarushi}から一つ選べ。\\ \\ \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaru}\quad C,F} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaru}\quad H,D} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaru}\quad H,F} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaru}\quad H,A} \makebox[7zw][l]{\NM{\nagamaru}\quad O,A}\\ \\ したがって \[\ake \text{OH}\cdot\text{OG}=\FBA{ツ}\] である。 \end{shomon} \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad $\Sankaku{ABC}$において余弦定理より \[x^2=(\dsqrt{7})^2+(2\dsqrt{7})^2-2\cdot\dsqrt{7}\cdot2\dsqrt{7}\cos\theta\] \[x^2=\bd{35}-28\cos\theta\GT{アイ} \Cdots\maruichi\] また円に内接する四角形の性質より$\Kaku{ACD}=\DO{180}-\theta$であるから,$\Sankaku{ACD}$において余弦定理 \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2011-1a-3kaitou1.eps}{4cm}{30}% より \[x^2=(\dsqrt{3})^2+(2\dsqrt{3})^2-2\cdot\dsqrt{3}\cdot2\dsqrt{3}\cos(\DO{180}-\theta)\] \[x^2=15+\bd{12}\cos\theta\GT{ウエ} \Cdots\maruni\] $\maruichi,\,\maruni$から$x^2$を消去して \[35-28\cos\theta=15+12\cos\theta\] \[\yueni\quad \cos\theta=\frac{\bd{1}}{\bd{2}}\GT{オカ}\] $\maruichi$に代入して\quad $x^2=35-14=21 \Yueni x=\dsqrt{\bd{21}}\GT{キク}$\\ さらに$\DO{0}<\theta<\DO{180}$より$\sin\theta>0$であるから \[\sin\theta=\dsqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] よって円Oの半径を$R$とすると,$\Sankaku{ABC}$において正弦定理より \[2R=\frac{\dsqrt{21}}{\sin\theta} \Yueni R=\frac{\dsqrt{21}}{\dsqrt{3}}=\dsqrt{\bd{7}}\GT{ケ}\] また$\sin(\DO{180}-\theta)=\sin\theta$に注意すると,四角形ABCDの面積は \[\Sankaku{ABC}+\Sankaku{ACD}=\frac{1}{2}\cdot\dsqrt{7}\cdot2\dsqrt{7}\cdot\frac{\dsqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\dsqrt{3}\cdot2\dsqrt{3}\cdot\frac{\dsqrt{3}}{2}=\bd{5}\dsqrt{\bd{3}}\GT{コサ}\] \ymawarikomi{20}{8}{6.5cm}{center2011-1a-3kaitou2.eps}{4.7cm}{24}% \kakkonib\quad 点A,Dにおける円Oの接線の交点Eについて$\Kaku{OAE}=\DO{\bd{90}}\GT{シス}$であり,また線分OEと辺ADの交点Fについて$\Kaku{AFE}=\DO{\bd{90}}\GT{セソ}$である。これと$\Kaku{AOE}$が共通であることから$\Sankaku{OAE}\soji\Sankaku{OFA}$となり \[\text{OA}:\text{OF}=\text{OE}:\text{OA}\] \[\yueni\quad \text{OE}\cdot\text{OF}=\text{OA}^2=R^2=\bd{7}\GT{タ}\] \ymawarikomi{14}{7}{4.5cm}{center2011-1a-3kaitou3.eps}{4.7cm}{30}% ここで,辺ADの延長と線分OCの延長の交点をG,点Eから直線OGに下ろした垂線の足をHとすると,$\Kaku{EFG}=\Kaku{EHG}=\DO{90}$であるから,円周角の定理の逆より4点E,G,H,Fは同一円周上にある\NM{\nagamarunib}\;[\textgt{チ}]\\ したがって方べきの定理より \[\text{OH}\cdot\text{OG}=\text{OE}\cdot\text{OF}=\bd{7}\GT{ツ}\] \vspace{4mm} \Chu{\h\bd{1}\quad 線分BCの長さは円Oの半径の2倍なので,中心Oは\hspace*{14zw}\\線分BCの中点ですが,これを利用する問題はありません。} \Chu{\h\bd{2}\quad 直線ADとOCの交点Gは正確な位置を図示するのが難しいと思います。逆に線分ADのAの側の延長で交わってしまうような図を描いてしまう可能性もありますが,それでも結論は変わりません。} \end{document}