西南学院大学 一般入試A(経、国) 2010年度 問3

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解答作成者: tmmt

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入試情報

大学名 西南学院大学
学科・方式 一般入試A(経、国)
年度 2010年度
問No 問3
学部 経済学部 ・ 国際文化学部
カテゴリ 二次関数 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\begin{itemize} \item[(1)] 曲線${C}$は、\\ \hspace{5mm}${x<1}$のとき、${y=-x \left(x-1\right)}$ \\ \hspace{5mm}${1 \leq x}$のとき、${y=x \left(x-1\right)}$ \\ となるから、その概形は下図の通り. \\ \hspace{5mm} \includegraphics[width=5cm]{3-1.eps} \item[(2)] 曲線${C}$と直線${l}$が${x>0}$で2つの交点を持つのは、直線${l}$(原点を通る傾き${k}$の直線)が下図の直線1と直線2の間を通るとき. \\ 直線1:${ \left(0,0\right) }$における曲線${C}$の接線 \\ 直線2:${ \left(1,0\right) }$における曲線${C}$の接線 \\ \hspace{5mm} \includegraphics[width=5cm]{3-2.eps} 直線1の傾きは、${x=0}$のとき${y=-x^{2}+x}$だから、${y'=-2x+1}$に${x=0}$を代入することで${1}$. \\ 直線2の傾きは、${ \left(1,0\right) }$と${ \left(0,0\right) }$を通ることから${0}$. \\ よって、${0<k<1}$. \item[(3)] ${C}$と${l}$によって囲まれる図形全体の面積は下図の色付き部分. \\ \hspace{5mm} \includegraphics[width=5cm]{3-3.eps} ここで、面積を求めるために${C}$と${l}$との交点を求めると、 \\ ${x<1}$のときは、${kx=-x \left(x-1\right)}$を解いて、${x=0,1-k}$. \\ ${1 \leq x}$のときは、${kx= x \left(x-1\right)}$を解いて、${x=1+k}$. \\ よって、${C}$と${l}$とで囲まれた図形全体の面積を${S}$とおくと、 \begin{eqnarray} \ S & = & \int_{0}^{1-k} \left(-x ^{2} +x-kx\right) dx+ \int_{1-k}^{1} \left(kx+x ^{2} -x\right) dx+ \int_{1}^{1+k} \left(kx-x ^{2} +x\right) dx \nonumber \\ & = & \left[- \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1-k}{2} x ^{2} \right]_{0}^{1-k} + \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{1-k}{2} x ^{2} \right]_{1-k}^{1} + \left[- \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{1+k}{2} x ^{2} \right]_{1}^{1+k} \nonumber \\ & = & -\frac{ \left(1-k\right) ^{3} }{3} + \frac{ \left(1-k\right) ^{3} }{2} + \frac{1 ^{3} - \left(1-k\right) ^{3} }{3} - \frac{ \left(1-k\right) -\left(1-k\right) ^{3}}{2} \nonumber \\ & & - \frac{ \left(1-k\right) ^{3}-1 }{3} + \frac{ \left(1+k\right) ^{3} - \left(1+k\right) }{2} \nonumber \\ & = & \frac{ \left(1-k\right) ^{3} }{6} + \frac{1}{3} - \frac{1-k}{2} + \frac{ \left(1-k\right) ^{3} }{6} + \frac{ \left(1+k\right) ^{3} }{6} + \frac{1}{3} - \frac{1+k}{2} \nonumber \\ & = & - \frac{1}{6} k ^{3} + \frac{3}{2} k ^{2} - \frac{1}{2} k+ \frac{1}{6} \nonumber \end{eqnarray} となるので、これを${k}$で微分すると、 \\ $\displaystyle{S'=- \frac{1}{2} k ^{2} +3k- \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \left(k ^{2} -6k+1\right) }$ \\ となるので、増減表を書くと${0<k<1}$だから、 \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $ \begin{array}{| c|| c| c| c| c| c|}\hline k & 0 & \cdots  & 3-2\sqrt{2} & \cdots & 1 \\ \hline S' & / & - & 0 & + & / \\ \hline S & / & \searrow & 最小値 & \nearrow & / \\ \hline \end{array} $ \vspace{2mm} \\ よって、${S}$は、${k=3-2\sqrt{2}}$のときに最小値を取る. \end{itemize}