西南学院大学 一般入試A(経、国) 2010年度 問2

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解答作成者: tmmt

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入試情報

大学名 西南学院大学
学科・方式 一般入試A(経、国)
年度 2010年度
問No 問2
学部 経済学部 ・ 国際文化学部
カテゴリ 三角関数 ・ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\begin{itemize} \item [1] \begin{itemize} \item[(1)]正弦定理から、$\displaystyle{ \frac{BC}{ \sin A} = \frac{CA}{ \sin B} = \frac{AB}{ \sin C} \Leftrightarrow \sin A: \sin B: \sin C = BC:CA:AB}$. \vspace{2mm} \\ ここで、${ \sin A: \sin B: \sin C=7:5:3}$だから、${BC:CA:AB=7:5:3}$.\\ よって、${k}$を正の実数として、${BC=7k}$、${CA=5k}$、${AB=3k}$と置けて、最大の角${ \theta }$は${\angle A}$だから、余弦定理より、$\displaystyle{ \cos A= \frac{ \left(5k\right) ^{2} + \left(3k\right) ^{2} - \left(7k\right) ^{2} }{2 \cdot 5k \cdot 3k} \Leftrightarrow \cos A = \frac{-15}{30}}$. \\ よって$\displaystyle{ \cos A = -\frac{1}{2}}$だから、\fbox{セソ}${=-1}$、\fbox{タ}${=2}$. \item[(2)]三角形ABCの面積は、$\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A= \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 5k \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{15k ^{2} \sqrt{3} }{4} }$で、これが${60 \sqrt{3}}$と等しいとき、${k>0}$から${k=4}$.よって、${BC=7k=28}$. \\ また、内接円の半径を${r}$とおくと、$\displaystyle{60 \sqrt{3} = \frac{1}{2} r \left(7k+5k+3k\right) =30r}$が成り立つから、${r=2 \sqrt{3}}$.よって、内接円の面積は${ \pi r ^{2} =12 \pi }$. \\ 上記から、\fbox{チツ}${=28}$、\fbox{テト}${=12}$. \vspace{2mm} \end{itemize} \item[2] \begin{itemize} \item[(1)]${p=1}$、${q=0}$のとき、${f \left(x\right) =x ^{3} -9x ^{2} +15x}$となるので、 \\ ${f' \left(x\right) =3x ^{2} -18x +15 =3 \left(x-1\right) \left(x-5\right) }$. \\ よって、増減表は以下の通り. \renewcommand{\arraystretch}{1.25} $ \begin{array}{| c|| c| c| c| c| c|}\hline x & \cdots & 1 & \cdots & 5 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 7 & \searrow & -25 & \nearrow \\ \hline \end{array} $ \vspace{2mm} \\ よって、${x=5}$で極小値${-25}$をとり、${x=1}$で極大値${7}$を取る. \\ ゆえに、\fbox{ナ}${=5}$、\fbox{ニヌネ}${=-25}$、\fbox{ノ}${=1}$、\fbox{ハ}${=7}$. \vspace{2mm} \item[(2)]${f' \left(x\right) =3x ^{2} -18px+15p ^{2} =3 \left(x-p\right) \left(x-5p\right)}$ \\ ここで、${p}$は正の定数だから${p<5p}$となり、${f \left(x\right)}$の増減表は以下の通り. $ \begin{array}{| c|| c| c| c| c| c|}\hline x & \cdots & p & \cdots & 5p & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 7p ^{3}-q & \searrow & -25p^ {3}-q & \nearrow \\ \hline \end{array} $ \vspace{2mm} \\ よって、${f \left(x\right)=0}$が3つの異なる実数解を持つには、極大値が正かつ極小値が負となればよいので、${7p ^{3} -q>0}$ かつ ${-25p ^{3} -q<0 \Leftrightarrow q<7p ^{3}}$ かつ ${-25p ^{3} <q}$. \\ ゆえに、求める${q}$の範囲は、${-25p ^{3} <q<7p ^{3} }$となり、\fbox{ヒフヘ}${=-25}$、\fbox{ホ}${=7}$. \end{itemize} \end{itemize}