一橋大学 前期 2007年度 問5

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2007年度
問No 問5
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{5}} 1が書かれたカードが1枚,2が書かれたカードが1枚,$\cdots$,$n$が書かれたカードが1枚の全部で$n$枚のカードからなる組がある.この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う.抜き出したカードに書かれた数を$a,\,b,\,c$とするとき,得点$X$を次の規則\tokeiichi,\tokeini に従って定める. {\par\leftskip=2zw \h\tokeiichi\quad $a,\,b,\,c$がすべて異なるとき,$X$は$a,\,b,\,c$のうちの最大でも最小でもない値とする.\\ \h\tokeini\quad $a,\,b,\,c$のうち重複しているものがあるとき,$X$はその重複した値とする. \par} \quad $1 \leq k \leq n$をみたす$k$に対して,$X=k$となる確率を$p_k$とする. \BK{\kakkoichi} $p_k$を$n$と$k$で表せ. \EK \BK{\kakkoni} $p_k$が最大となる$k$を$n$で表せ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad カードの引き方は全部で$n^3$通りあり,このうち$X=k$となるのは以下の場合である. \h\Kakko{ア}\quad すべてカードが異なるとき\\ \quad 1枚は$k$のカードであり,残りの2枚のカードは$k-1$以下のカード($k-1$通り)と$k+1$以上のカード($n-k$通り)である.このときこの3枚を引く順番も考えると引き方は \[(k-1)\times(n-k)\times3!=6(k-1)(n-k)通り\] \h\Kakko{イ}\quad $k$のカードを2枚だけ引くとき\\ \quad $k$以外のカードは$n-1$通りあり,これをいつ引くかを考えると引き方は\quad $3(n-1)通り$ \h\Kakko{ウ}\quad $k$を3枚引くとき\quad 1通り 以上より \[p_k=\frac{6(k-1)(n-k)+3(n-1)+1}{n^3}=\bd{\frac{-6k^2+6(n+1)k-3n-2}{n^3}}\] \h\kakkonib\quad \kakkoichi より \[p_k=\frac{1}{n^3}\CK{-6\SK{k-\frac{n+1}{2}}\shisu{2}+\frac{3(n+1)^2}{2}-3n-2}\] となるから,$p_k$が最大となるような$k$の値は \[\bd{n}\textbf{が奇数のとき}\quad \bd{k=\frac{n+1}{2}}\] \[\bd{n}\textbf{が偶数のとき}\quad \bd{k=\frac{n}{2},\,\frac{n+2}{2}}\] \end{document}