一橋大学 前期 2007年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 2007年度
問No 問2
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\mdot\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\quad\dotfill} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} \def\Kakko#1{(\makebox[1.1zw][c]{#1})}%2文字分カッコ \def\ake{\;\,\,} %枠をつけたときの数式の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %大問番号 \def\NUMB#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=2pt \framebox[1.7zw][c]{\large\gt #1}}} %大問番号のリスト環境 \def\BM#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{2zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{2zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EM{\end{list}} %小問番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \setlength{\textheight}{40\baselineskip} \begin{document} \begin{jituwaku} \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \BM{\NUMB{2}} 数列$\CK{a_n},\,\CK{b_n},\,\CK{c_n}$を \[a_1=2,\,a_{n+1}=4a_n\] \[b_1=3,\,b_{n+1}=b_n+2a_n\] \[c_1=4,\,c_{n+1}=\frac{c_n}{4}+a_n+b_n\] と順に定める.放物線$y=a_nx^2+2b_nx+c_n$を$H_n$とする. \BK{\kakkoichi} $H_n$は$x$軸と2点で交わることを示せ. \EK \BK{\kakkoni} $H_n$と$x$軸の交点をP$_n$,Q$_n$とする.$\sum_{k=1}^{n}\text{P}_k\text{Q}_k$を求めよ. \EK \EM \end{jituwaku} \h\kai\quad\kakkoichib\quad 放物線$H_n$と$x$軸との共有点の$x$座標は2次方程式 \[a_nx^2+2b_nx+c_n=0\Cdots\maruichi\] の実数解である.$(\maruichi の判別式)/4=b_n^2-a_nc_n=D_n$とおくと \[D_{n+1}=b_{n+1}^2-a_{n+1}c_{n+1}=(b_n+2a_n)^2-4a_n\SK{\frac{c_n}{4}+a_n+b_n}=b_n^2-a_nc_n=D_n\] であるから,$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$について \[D_n=D_1=b_1^2-a_1c_1=3^2-2\cdot4=1>0\] よって$H_n$は$x$軸と2点で交わる. \h\kakkonib\quad P$_n,\,$Q$_n$の$x$座標は$\maruichi$の解であり \[x=\frac{-b_n\pm\dsqrt{D_n}}{a_n}=\frac{-b_n\pm1}{a_n}\] よって\quad $\text{P}_n\text{Q}_n=\dfrac{-b_n+1}{a_n}-\dfrac{-b_n-1}{a_n}=\dfrac{2}{a_n}$\\ ここで$a_1=2,\,a_{n+1}=4a_n$より$\CK{a_n}$は初項2,公比4の等比数列であるから\quad $a_n=2\cdot4^{n-1}$ \[\yueni\quad \sum_{k=1}^{n}\text{P}_n\text{Q}_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{a_n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4^{n-1}}=\frac{1-\dfrac{1}{4^n}}{1-\dfrac{1}{4}}=\bd{\frac{4}{3}\SK{1-\frac{1}{4^n}}}\] \Chu{$\CK{b_n},\,\CK{c_n}$の一般項を求めることもできますが,この問題では必要ありません.} \end{document}