早稲田大学 政治経済学部 2010年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 政治経済学部
年度 2010年度
問No 問4
学部 政治経済学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=141mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP,custom_suseum} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{136mm}{\quad$x\geqq\dfrac{1}{\,2\,}\ において, 直線y=-\dfrac{1}{\,2\,}x+\dfrac{\,3\,}{2},\ \ 曲線\ y=4\biggl(\,x-\dfrac{1} {\,2\,}\biggr)^{\!2}\ および\ x\ 軸で囲\\[1mm]まれる図形を\ D\ とする。ただし, \ \,D\ は境界をすべて含む。\\[1mm]\quad このとき,次の各問に答えよ。\\[3mm] \paalen{\hspace*{-.5pt}\textgt{1}\hspace*{.5pt}}\quad 図形\ D\ の面積\ S\ を 求めよ。答のみ解答欄に記入せよ。\\[3mm] \paalen{\textgt{2}}\quad 直線\ l\,:\,y=ax+b\ \,(\,a>0\,)\vspace*{1mm}\ と図形 \ D\ が共有点をもつとき,\ \ a,\ \,b\ \,のみたす\\[1mm]\qquad 不等式を求めよ。 また,それらの不等式が表す領域を\ a$-$b\ 平面上に図示せよ。\\[4mm] \paalen{\textgt{3}}\quad 図形\ D\ の面積\ S\ が,直線\ m\,:\,y=4x+b\ によって2等分されるような定\\[1mm]\qquad 数\ b\ の値を求めよ。$} \end{FRAME} \quad $\displaystyle \\ \paalen{\makebox[10pt][c]{\textgt{1}\hspace*{1pt}}}\ \ 4\Bigl(x-\frac{1} {\,2\,}\Bigr)^{\!2}=-\frac{1}{\,2\,}x+\frac{\,3\,}{2}\,とおくと \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 4x^2-\frac{\,7\,}{2}x-\frac{1}{\,2\,}=0 \\[1.5mm] \hspace*{6zw} 8x^2-7x-1=0 \\ \hspace*{6zw} (x-1)(8x+1)=0 \\[-3.5mm] \hspace*{24zw} \begin{picture}(0,0) \Nuritubusi[.2]{(17,0)(90,0)(30,20)(27,12)(22,4)(20,2)(17,0)} \path(-32,0)(120,0) \path(115, -1.5)(120,0)(115, 1.5) \put(114,-8){$x$} \path(0,-17)(0,80) \path(-1.5, 75)(0,80)(1.5, 75) \put(-8,75){$y$} \qbezier(-15,80)(0, 0.2)(15, 0.2) \qbezier(15, 0.2)(30, 0.2)(45,80) \put(-9,-9){\small O} \path(-30,40)(120,-10) \put(87.5, -9){\small 3} \path(3,-16)(15,0)(30,20)(69,72) \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(0,20)(30,20)(30,0) \put(10.5, -11){$\frac{1}{\,2\,}$} \put(27.5, -9){\small 1} \put(-7,17){\small 1} \end{picture} \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ x=1,\ -\frac{1}{\,8\,} \\[2mm] \quad\, Dの面積Sは \\[1mm] \makebox[6.7zw][r]{$S$}=\int_{\mbox{\small$\frac{1}{\,2\,}$}} ^{\hspace*{1pt}1} 4\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,dx+\frac{1}{\,2\,} \times(3-1)\times 4\Bigl(1-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} \\[1mm] \hspace*{6.7zw} =\left[\frac{\,4\,}{3}\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}\, \right]_{\!\mbox{\small$\frac{1}{\,2\,}$}}^1+1 \\[1.5mm] \hspace*{6.7zw} =\frac{4}{\,3\,}\Bigl(\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!3}+1 =\frac{\,7\,}{6} \ \ \ (答) \\[4mm] \paalen{\textgt{2}}\ \ 2点\Bigl(\frac{1}{\,2\,},\ 0\Bigr),\ (1,\ 1)を通る直線 の方程式は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} y=2\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr) \\[2mm] \quad であり,\ \ y=4\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2}\,は下に凸であることに 注意すると,\ \ l:y=ax+b\ (a>0)\\[1.5mm]\quad とDが共有点をもつ条件は \\[.5mm] \hspace*{6zw} 0\leqq a\times 3+b \,\ かつ \ \Biggl\{\!\begin{array}{ll} 0<a\leqq 2のとき & 1\geqq a\times 1+b \\[.5mm] a\geqq 2のとき & 0\geqq a\times\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}+b \end{array} \\[2.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ b\geqq-3\hspace*{.5pt}a \,\ かつ \,\ b\leqq \Biggl\{\raisebox{1.5pt}{$\begin{array}{@{}ll} -a+1 & (0<a\leqq 2) \\[.5mm] -\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}a & (a\geqq 2) \end{array}$} \\[3mm] \quad\, ab平面上に図示すると,次図の網目部分\paalen{b軸上は含まず,その他の 境界上は含む}\\ \quad となる。\\ \hspace*{10zw} \begin{picture}(100,60) \Nuritubusi[.2]{(0,0)(20,-60)(120,-60)(60,-30)(1,29)(0, 28.5)(0,0)} \path(-18,0)(-1.5, 0) \put(0,0){\circle{3}} \path(1.5, 0)(120,0) \path(115, -1.5)(120,0)(115, 1.5) \put(115,-8){$a$} \put(30,2){\small 1} \put(-9.5, -9.5){\small O} \path(0,-60)(0, -1.5) \put(0,30){\circle{3}} \path(0, 31.5)(0,60) \path(-1.5, 55)(0,60)(1.5, 55) \put(-7,53){$b$} \path(1,29)(90,-60) \path(0.6, -1.5)(20,-60) \path(1.6, -.8)(120,-60) \put(57.5, 2){\small 2} \put(-7,27){\small 1} \put(-14,-33){\small$-1$} \allinethickness{.3pt} \dashline[24]{2}(0.1, 3)(0.1, 27) \put(135,-45){(答)} \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(0,-30)(60,-30)(60,0) \dashline[24]{1.5}(10,0)(10,-30) \put(5,6){$\frac{1}{\,3\,}$} \end{picture} \\[25mm] \paalen{\textgt{3}}\ \ 点(1,\ 1)におけるy=4\Bigl(x-\frac{1}{\,2\,}\Bigr)^{\!2} \,の接線の\\[2mm]\parbox{22zw}{\quad 傾きは$8\Bigl(1-\dfrac{1}{\,2\,}\Bigr)=4 であり,その接線に平行\\[1.5mm]\quad な直線m:y=4x+bがDの面積Sを2等分す\\[1.5mm] \quad るならば,\ \ 1<x<3において\ y=-\dfrac{1}{\,2\,}x+\dfrac{3}{\,2\,} \\ [1.5mm]\quad と交わる。連立方程式$}\\ \hspace*{25zw} \begin{picture}(0,0) \Nuritubusi[.2]{(48,0)(90,0)(53, 12.5)(48,0)} \path(-20,0)(120,0) \path(115, -1.5)(120,0)(115, 1.5) \put(114,-8){$x$} \path(0,-17)(0,80) \path(-1.5, 75)(0,80)(1.5, 75) \put(-8,75){$y$} \qbezier(-15,80)(0, 0.2)(15, 0.2) \qbezier(15, 0.2)(30, 0.2)(45,80) \put(-9,-9){\small O} \path(-18,36)(120,-10) \put(87.5, -9){\small 3} \path(16,-15)(30,20)(52,75) \path(42,-15)(48,0)(53, 12.5)(76,70) \allinethickness{.2pt} \dashline[30]{1.5}(0,20)(30,20)(30,0) \put(9,-11){$\frac{1}{\,2\,}$} \put(27.5, -9){\small 1} \put(-7,17){\small 1} \put(39, -11.5){$-\frac{\,b\,}{4}$} \put(60,8){$\frac{1}{\,2\,}S$} \end{picture} \\[1mm] \hspace*{6zw} \left\{\!\begin{array}{l} y=4x+b \\[1mm] y=-\dfrac{1}{\,2\,}x+\dfrac{3}{\,2\,} \end{array}\right. \\[2mm] \quad を解くことにより,\ \ 2直線の交点は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \Bigl(\frac{1}{\,3\,}-\frac{2}{\,9\,}b,\ \frac{4}{\,3\,} +\frac{1}{\,9\,}b\Bigr) \\[2mm] \quad 図形Dの面積Sが直線y=4x+bによって2等分されるのは,直線y=4x+b,\\[1.5mm] \quad\,y=-\frac{1}{\,2\,}x+\frac{3}{\,2\,}\,およびx軸で囲まれる三角形の面積が\, \frac{1}{\,2\,}Sに等しいときであり,\\[1.5mm] \hspace*{6zw} \frac{1}{\,2\,}\Bigl(3+\frac{\,b\,}{4}\Bigr)\Bigl(\frac{\,4\,} {3}+\frac{\,b\,}{9}\Bigr)=\frac{1}{\,2\,}\ten\frac{\,7\,}{6} \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ (b+12)^2=42 \\[1.5mm] \quad\, 3+\frac{\,b\,}{4}>0より\\[1.5mm]\hspace*{6zw} b+12=\sqrt{\,42\,} \hspace*{3zw} \therefore\,\ b=-12+\sqrt{\,42\,}\ \ \ (答) $ \end{document}