早稲田大学 商学部 2010年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 商学部
年度 2010年度
問No 問3
学部 商学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=148mm \textheight=200mm \topmargin=-20mm \usepackage{amsmath,amssymb,custom_suseum} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\hspace*{.5pt}\mathrm{#1}\hspace*{.5pt}}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\maru#1{\raisebox{.7pt}{\textcircled{\raisebox{-.7pt}{\small#1}}}} \renewcommand{\thepage}{\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}\makebox[2zw][c] {\small\arabic{page}}\raisebox{1pt}{---\hspace*{-1pt}---}} \begin{document} \begin{FRAME} \noindent\hspace*{-.7zw}\parbox{144mm}{\ \ $t\ を実数とする.\ 2つの放物線 \\[1mm] \quad\ \ y=x^2+1 \ \ \cdots\cdots\ \maru{1} \\[1mm] \quad\ \ y=-(x-t)^2+t \ \ \cdots\cdots\ \maru{2} \\[1mm] の両方に接する2本の直線を\,\ell_1,\,\ell_2\,とし,\ \ell_1と\,\ell_2\,の交点を \mbox{P},\ \ell_1と\hspace*{1pt}\maru{1}\hspace*{1pt}の接点を\mbox{A} (\alpha,\alpha^2+1)\,,\\[1mm]\ell_2\makebox[16pt][c]{と}\maru{1}\,の接点を\ \mbox{B}(\beta,\beta^2+1)とする.\\[2mm]次の設問に答えよ.\\[8mm] \makebox[2.5zw][l]{\ (1)}\mbox{P}の座標を\ \alpha,\ \beta\ を用いて表せ.\\[5mm] \makebox[2.5zw][l]{\ (2)}三角形\mbox{APB}の面積を\hspace*{3.5pt}S(t)\hspace* {3.5pt}とするとき,\ S(t)をtの式で表せ.\\[5mm] \makebox[2.5zw][l]{\ (3)}S(t)の最小値を求めよ.$} \end{FRAME} \quad \\ (1)\ \ Aにおける\maru{1}の接線として,$\ell_1\,の方程式は\\ \hspace*{6zw} y=2\alpha(x-\alpha)+\alpha^2+1 \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ y=2\alpha x-\alpha^2+1 \hfill \cdots\cdots\ \maru{3} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad\,\mbox{B}における\maru{1}の接線として,\ \ \ell_2\,の方程式は \\ \hspace*{6zw} y=2\beta x-\beta^2+1 \hfill \cdots\cdots\ \maru{4} \hspace*{6zw}\\[.5mm] \quad \maru{3}かつ\hspace*{1pt}\maru{4}を解くと,\ \ \maru{3}-\maru{4}\,より\\ \hspace*{6zw} 2(\alpha-\beta)x-\alpha^2+\beta^2=0 \\[.5mm] \quad\,\alpha\neq\beta\,より \displaystyle \\[.5mm] \hspace*{6zw} x=\frac{\,\alpha+\beta\,}{2} \\[2mm] \quad \maru{3}に代入して \\[.5mm]\hspace*{6zw} y=2\alpha\ten\frac{\,\alpha+\beta\,}{2}-\alpha^2+1=\alpha\beta+1 \\[1.5mm] \hspace*{5zw} \therefore\,\ \mbox{P}\Bigl(\frac{\,\alpha+\beta\,}{2},\ \alpha\beta+1\Bigr) \ \ \ (答) \\[4mm] \makebox[3zw][l]{(2)} \Vec{PA}=(\alpha,\ \alpha^2+1) -\Bigl(\frac{\,\alpha+\beta\,}{2},\ \alpha\beta+1\Bigr) =\Bigl(\frac{\,\alpha-\beta\,}{2},\ \alpha(\alpha-\beta)\Bigr) \\[1.5mm] \hspace*{3zw} \Vec{PB}=\Bigl(\frac{\,\beta-\alpha\,}{2},\ \beta(\beta-\alpha)\Bigr) \\[2mm] \quad であるから,\ \ \triangle\mbox{APB}の面積S(t)は \\[1.5mm]\makebox[7.9zw] [r]{$S(t)$}=\frac{1}{\,2\,}\biggl|\frac{\,\alpha-\beta\,}{2}\ten\beta( \beta-\alpha)-\alpha(\alpha-\beta)\ten\frac{\,\beta-\alpha\,}{2}\biggr| \\ [1.5mm]\hspace*{7.9zw} =\frac{1}{\,4\,}|\hspace*{1pt}\alpha-\beta \hspace*{1pt}|^3 \hfill\cdots\cdots\ \maru{5} \hspace*{6zw}\\[2mm] \quad \maru{2}かつ\hspace*{1pt}\maru{3}よりyを消去すると \\ \hspace*{6zw}\! -(x-t)^2+t=2\alpha x-\alpha^2+1 \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ x^2+2(\alpha-t)x-\alpha^2+t^2-t+1=0 \\[.5mm] \quad\, \ell_2\,は\,\maru{2}の接線でもあるから \\ \hspace*{6zw} (\raisebox{-.8pt}{判別式})=(\alpha-t)^2-(-\alpha^2+t^2-t+1)=0 \\ \hspace*{5zw} \therefore\,\ 2\alpha^2-2t\alpha+t-1=0 \\[.5mm] \quad \maru{2}かつ\hspace*{1pt}\maru{4}より同様に\\ \hspace*{6zw} 2\beta^2-2t\beta+t-1=0 \\[.5mm] \quad\, \alpha\neq\beta\,であるから,解と係数の関係より \\[1.5mm] \hspace*{6zw} \alpha+\beta=t,\ \ \alpha\beta=\frac{\,t-1\,}{2} \\[2mm] \quad \maru{5}に代入して \\[1mm]\makebox[7.9zw][r] {$S(t)$}=\frac{1}{\,4\,}\bigl\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \bigr\}\hspace*{-1pt}\raisebox{6pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$} \\[1.5mm] \hspace*{7.9zw} =\frac{1}{\,4\,}\Bigl(t^2-4\ten\frac{\,t-1\,}{2}\Bigr)\! \raisebox{10pt}{\small$\frac{\,3\,}{2}$} \\[1.5mm] \hspace*{7.9zw} =\frac{1}{\,4\,}(t^2-2t+2)\hspace*{-1pt}\raisebox{6pt} {\small$\frac{\,3\,}{2}$} \ \ \ (答) \\[5mm] (3)\ \ S(t)=\frac{1}{\,4\,}\bigl\{(t-1)^2+1\bigr\}\hspace*{-1pt}\raisebox{6pt} {\small$\frac{\,3\,}{2}$}\,の最小値は \\[1.5mm] \hspace*{6zw} S(1)=\frac{1}{\,4\,} \ \ \ (答) $ \end{document}